【数据结构9】-图的概念、遍历以及应用

1. 图的基本概念

1.1 定义

1.2 无向图与有向图

1.3 度

注意：树与图结点的度定义不同。树的度是指每个结点的孩子个数。

1.4 点到点的关系

注意：

1. 若连通图的边>n-1条，比如有n条边，则该图中一定存在环。
2. 如果题目是说，该图在任何情况下都连通，是指这些顶点和多少条边任意组合都是连通图，而不是n - 1，因为那不满足任意组合。也就是考虑极端情况, 即n-1个顶点构成无向完全图+一条边。即C【2到n-1】 + 1 = （n-1)(n-2)/2 + 1

1.5 图的局部

1.5.1 子图

注意：虽然子图是取顶点集的子集和边集的子集，但是如果说取顶点集的子集和边集的子集是子图则错误。
有向图的子图和无向图的子图定义一样。

1.5.2 连通分量(极大连通子图)

一个图可以有多个连通分量，即多个极大连通子图。
一个图的连通分量数：指该图的极大子图的个数。

1.5.3 强连通分量(极大强连通子图)

1.5.4 连通无向图的生成树

1.5.5 非连通无向图的生成森林

1.5 几种特殊状态的图

1.6 小结

2. 图的存储

* 图的存储
	1. 邻接矩阵(适合稠密的情况) 
	2. 邻居表法
	3. 十字链表
	4. 邻接多重表

2.1 邻接矩阵(适合稠密的情况)

2.1.1 存储非带权图

2.1.2 存储带权图

主要是边表变化了，之前存放边关系的二维数组变成了存放边的权重。

2.1.3 邻接矩阵性能分析

2.1.4 对称邻接矩阵的压缩存储

注意：将无向图的对称矩阵，按照出度的大小由高到低或者由低到高排序后再构造矩阵，会构成上三角或下三角的矩阵。

2.1.5 邻接矩阵的一个重要性质

2.2 邻接表法(适合稀疏的情况)

2.2.1 邻接表法

2.2.2 性能分析

那么如何计算结点的度？

对于无向图来说，直接遍历某个结点的链表，链表的结点个数就是该结点的度数。

对于有向图来说，计算出度很简单，和无向图一样，但是求入度比较麻烦，需要遍历各个结点的链表才能知道。

另外，由于每个结点的链表的结点无顺序关系，导致每个图的邻接表不唯一。但是，一个图的邻接矩阵是唯一的。

2.3 邻接表与邻接矩阵对比

2.4 十字链表法(有向图)

2.4.1 十字链表法

2.4.2 性能分析

2.5 邻接多重表法(无向图)

对于无向图的存储，如果使用邻接矩阵的方法，会导致空间复杂度高；如果使用邻居表法，会导致有冗余边被存储，且删除顶点边很麻烦。

邻接多重表法可以解决以上问题。

2.6 小结

3. 基本操作

4. 图的遍历

* 图的遍历：访问所有顶点，且每个顶点只被访问一次。
	* 注意：这个说法是错误的：从某一个顶点出发访遍图中其余顶点。
			原因：第一是每个结点只能被访问一次，第二是如果是非连通图，从一顶点出发是无法访问所有结点的。
* 分类：
	1. 广度优先遍历(BFS)
	2. 深度优先遍历(DFS)

4.1 广度优先遍历(BFS)

4.1.1 算法思想

图的广度优先算法只是比树的层次遍历多了一步：在添加邻接结点的时候，先判断该邻接结点是否被访问过，若访问过则不入队列，反之入队列。

还需要注意一点的是，得到某节点的邻接结点时，一般是for(int i = 0; i < 数组长度; i++)，下标从小到大，所以某结点有多个邻接结点时，是下标小的结点先入队。

4.1.2 代码实现

注意：由于邻接矩阵表示唯一，所以用邻接矩阵得到的广度优先遍历唯一。邻接表的表示不唯一，所以用邻接矩阵得到的广度优先遍历不唯一。

多个连通分量，则只需要在外面套个for循环就可以了。调用BFS函数的次数等于连通分量的个数。

有向图调用BFS函数的次数要根据具体情况确定。

4.1.3 性能分析

对图和树的遍历，时间复杂度都来自于对边和结点的访问，所以在求广度优先遍历的时候，我们只需要求访问边和结点的次数就可以了。

辅助队列最坏大长度是O(|V|)

4.1.4 广度优先生成树

实现算法的核心就是：在广度优先遍历的基础上，加一步，即在弹出该结点之后，该结点的邻接结点入队之前，将邻接结点添加为该结点的孩子结点。

注意：由于同一图的邻接矩阵唯一，所以其广度优先遍历唯一，导致其广度优先生成树唯一；而同一图的邻接表不唯一，所以其广度优先遍历不唯一，导致其广度优先生成树不唯一。

4.1.5 小结

4.2 深度优先遍历(DFS)

4.2.1 算法思想

DFS的思想和树的先根遍历/后根遍历的思想是一样的，只是和BFS一样加了一个visited数组，防止死循环。一般取与树的先根遍历相同的思想实现DFS。

注意：在做题时，默认DFS为先根遍历

4.2.2 代码实现

注意：和BFS一样，由于邻接矩阵表示唯一，所以用邻接矩阵得到的深度优先遍历唯一。邻接表的表示不唯一，所以用邻接矩阵得到的深度优先遍历不唯一。

有向图的DFS代码和无向图一样，有向图调用DFS函数的次数和连通分量个数一样，有向图调用DFS函数的次数要根据具体情况确定。

4.2.3 性能分析

和BFS类似，在求DFS的复杂度时，我们只需要求访问边和结点的次数就可以了。并且，其空间复杂度以及时间复杂度都和BFS一模一样。

4.2.4 深度优先生成树

深度优先生成树与广度优先生成树非常类似，都是基于其遍历的基础上。

森林就是每个连通分量都深度优先遍历生成深度优先生成树。和BFS类似。

4.2.5 小结

5. 图的最小生成树

5.1 最小生成树概念

最小连通图：指该图的所有生成树中，各条边权值之和最小的那个数。（强连通图和连通图都是一颗或多棵最小生成树不唯一，多颗是有权值相等导致，一颗是指强连通图和连通图的最小生成树必定存在）

如果该图本就是一棵树(即不存在环路), 则其最小生成树就是他本身。

连通图有最小生成树，非连通图有最小生成森林。

5.2 Prim算法构成最小生成树

算法过程：

1. 初始时，从图中任意取一个点加入集合T
2. 选择离T中顶点集合最近的顶点，将该顶点和相应的边加入集合T，每次操作后T中的顶点数和边数都加1
3. 重复上面过程，直到所有顶点都加入到T中
   

5.3 Kruskal算法构成最小生成树

算法过程：每次选择一条权值最小的边，有三种情况：

1. 如果两条边的两头不在任意一个独立集合，则使这两条边的两头连接，组成一个独立集合T；
2. 如果连接的两个顶点只有一个在独立集合中，则将另一个顶点和相应边加入该独立集合中
3. 如果连接的两个顶点在不同的独立集合，则将这两个独立集合合并，表示将两个子图连通

5.4 小结

注意：Prim和Kruskal的算法复杂度很相近，但是细的来说，还是Kruskal的算法复杂度更优。

6. 最短路径

* 最短路径类别
	1. 单源最短路径：指从某个结点结点出发，能够求从该结点到其他任意结点间的最短路径。
		* 算法
			1. BFS算法实现（只适用于不带权的图）
			2. Dijikstra算法实现（带正权图/无权图都行）
	2. 各顶点间的最短路径：能够求任意两个结点间的最短路径。
		* 算法
			1. Floyd算法实现（带权图/无权图都行）
			2. BFS和Dijikstra也能实现。只需要在其算法的外部再嵌套一个循环，这样从每个结点的单源最短路径就变成了各顶点间的最短路径。

* 注意：最小生成树是整体最小，而最短路径是顶点间路径最小。

6.1 单源最短路径

6.1.1 BFS算法实现（只适用于不带权的图）

注意：算法复杂度为:O(|V^2|)

6.1.2 Dijikstra算法实现（带正权图/无权图都行）

若已V0为源，则集合为{V0}、{V1，V2，V3}

1. 初始：dist[]数组放V0到V1，V2，V3的距离，path[]数组表示能从哪个结点来。
2. 第一步：将V1加入{V0}，变为{V0，V1}、{V2，V3}，遍历dist[]数组，找到最小值的那个结点，即V4。再遍历dist[]数组，看从V0经过V1分别到达{V2，V3}的距离是否更短(dist[4]+从V4分别到{V2，V3}得到)，如果更短则用该短值取代dist[]对应值。
3. 第二步：将V2加入{V0，V1}，变为{V0，V1，V2}、{V3}…一直重复操作，直到集合为空
   

注意：Dijkstra算法不适用于带有负权值的图。

6.2 各顶点间的最短路径

首先，说明BFS和Dijikstra也能实现。只需要在其算法的外部再嵌套一个循环，这样从每个结点的单源最短路径就变成了各顶点间的最短路径。

接下来介绍另一种求各顶点间的最短路径的算法Folyd算法。

6.2.1 Folyd算法

6.2.1.1 算法思想

可以看见，其实Folyd的思想和Dijikstra思想非常的相似。

拿个简单例子练练手：

6.2.1.2 算法实现

6.2.1.3 Folyd算法缺点

6.3 小结

注意：上面这三种方法都可以求带回路的连通图的最短路径，但是不能判断图是否有环。

7. 有向无环图

7.1 有向无环图描述表达式

这样，比较混乱，如果式子一长，不容易看出来。

因此，按照如下步骤进行计算：

1. 把各个操作数不重复地排成一排
2. 标出各个运算符的生效顺序（先后顺序优点出入无所谓，比如先算左边括号或者先算右边括号，当然是同级的情况）
3. 按顺序加入运算符，不同的运算级别层次不同，过程中如果已经存在某部分，则直接用
4. 最后生成的图就是有向无环图

按照这个顺序，则上题应该这样做：

7.2 拓扑排序

7.2.1 AOV网

7.2.2 算法实现

7.2.3 算法复杂度

7.3 逆拓扑排序

逆拓扑排序和拓扑排序几乎一样，只是每次入栈的是出度为0的结点。

7.4 DFS(深度优先遍历)实现拓扑排序或者逆拓扑排序

注意：这里是在退栈前打印顶点，所以是逆拓扑排序；如果是入栈时打印顶点就是拓扑排序。

7.5 小结

注意：拓扑排序中暂存度为0的结点可以用栈也可以用队列。

8. 关键路径

8.1 AOE网

8.2 关键路径（最长路径）

下面举一个求关键路径的例子：



取箭头尾部的事件最早发生时间作为活动的最早发生时间。

事件的最迟发生事件 - 相应的边 = 活动的最迟发生时间。

8.3 关键路径特性

1. 若关键活动的时间增加，则整个工程的工期将增加。
2. 一定范围内缩短关键活动的时间，可以缩短整个工程的工期；缩短到一定程度，关键活动可能变为非关键活动。
3. 可能有多条关键路径，只提高一条路径上的关键活动速度并不能缩短整个工程的工期，只用加快所有关键路径的才可以。

8.4 小结

9. 一些小知识点

1. 能判断图是否有环的方法：
	1. DFS
	2. 拓扑或逆拓扑排序
	3. 关键路径(这个比较模糊，可以判断环也可以不判断环，看题目情况，但是上面两个是必定可以判断是否有环)

	* 注意：BFS和最短路径不能判断是否有环，所以求关键路径的第一步——要进行拓扑排序。

2. 有向无环图的DFS序列是拓扑排序，若是DFS算法退栈返回时打印相应的顶点，则输出的是逆拓扑排序。

3. 深度优先搜索生成树的高度 >= 广度优先搜索生成树的高度
	原因：BFS可用于单源最短路径，所以得到的树会尽可能的矮；深度优先搜索会尽可能深的搜索树，路径会尽可能的长。

4. 只要无向连通图中没有权值相等的边，则最小生成树唯一；而有相等的边时，可能唯一，也可能不唯一，比如当其本身是一棵树时，其最小生成树唯一。

5. 连通图的最小生成树的可能不唯一，但是其代价一定唯一。（代价指的是所有边的权值之和）

6. 连通图的权值最小的边不一定出现在最小生成树中，如果该边在环中，则可能不会出现在最小生成树中。

7. 对于遍历图的操作，比如DFS,BFS，拓扑排序等算法复杂度都与图本身的存储结构有关。

8. 如果不能进行拓扑排序，则有向图一定存在回路。其等价说法是：
	* 顶点数目大于1的强连通分量中必然存在回路，因为两个顶点的强连通图就以及形成了环。
	* 注意：这种说法是错误的：该图是强连通图。 因为可能是非连通有向图

9. 拓扑排序中暂存度为0的结点可以用栈也可以用队列。 

10. 一个有向图具有有序的拓扑排序，则它的邻接矩阵为三角。
	一个有向图具有拓扑排序，则它的邻接矩阵为一般。
	* 注意：区别在于其拓扑排序是否有序。

11. 有向无环图有唯一拓扑序列并不能唯一确定该图。
	
12. 关键活动一定位于关键路径上

13. 若有向图的邻接矩阵中对角线以上的元素全为1，以下的全为，则其拓扑排序存在且唯一。
	若有向图的邻接矩阵中对角线以下的全为，则其拓扑排序存在，但是可能唯一。