[NOIP2003]加分二叉树【动态规划】

【问题描述】

设一个n个节点的二叉树tree的中序遍历为(l,2,3,…,n),其中数字1,2,3,…,n为节点编号。每个节点都有一个分数(均为正整数),记第j个节点的分数为di,tree及它的每个子树都有一个加分,任一棵子树subtree(也包含tree本身)的加分计算方法如下:

subtree的左子树的加分×subtree的右子树的加分+subtree的根的分数

若某个子树为主,规定其加分为1,叶子的加分就是叶节点本身的分数。不考虑它的空

子树。

试求一棵符合中序遍历为(1,2,3,…,n)且加分最高的二叉树tree。要求输出;

(1)tree的最高加分

(2)tree的前序遍历

 

【输入格式】

第1行:一个整数n(n<30),为节点个数。

第2行:n个用空格隔开的整数,为每个节点的分数(分数<100)。

 

【输出格式】

第1行:一个整数,为最高加分(结果不会超过4,000,000,000)。

第2行:n个用空格隔开的整数,为该树的前序遍历。

 

解题思路:这题我觉得归为区间DP比较合适。。由于给出的是中序遍历,所以设遍历中的第i个为根,则有第1到i-1为左子树的中序遍历,第i+1到n为右子树的中序遍历,这样就找到了最优子结构的性质,对于每一个中序遍历我们只需要枚举它的根即可。设f[i][j]为i到j作为中序遍历时的最大得分,则可以得到状态转移方程f[i][j]=max(f[i][k-1]*f[k+1][j])+point[k],i<=k<=j。

代码(很久以前写的,略丑):

programpointtree(input,output);
var f:array[0..35,0..35]of longint;
a:array[0..35]of longint;
n,i,j,k,max:longint;
procedure findmax(s,e:longint);
var i,k,max:longint;
begin
max:=0;k:=-1;
for i:=s to e do
 if f[s,i-1]*f[i+1,e]+a[i]>max then beginmax:=f[s,i-1]*f[i+1,e]+a[i];k:=i;end;
if k<>-1 then
 begin
  write(k,' ');
  findmax(s,k-1);
  findmax(k+1,e);
 end;
end;
begin
assign(input,'pointtree.in');
reset(input);
readln(n);
filldword(f,sizeof(f)div 4,1);
for i:=1 to n do
 begin
  read(a[i]);
  f[i,i]:=a[i];
  f[i-1,i]:=a[i-1]+a[i];
 end;
for i:=3 to n-1 do
 for j:=1 to n do
  for k:=j to j+i-1 do
   iff[j,k-1]*f[k+1,j+i-1]+a[k]>f[j,j+i-1] thenf[j,j+i-1]:=f[j,k-1]*f[k+1,j+i-1]+a[k];
max:=0;
for i:=1 to n do
 if f[1,i-1]*f[i+1,n]+a[i]>max thenmax:=f[1,i-1]*f[i+1,n]+a[i];
writeln(max);
findmax(1,n);
close(input);
end.


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