学习一类树的计数问题和Prufer序列【BZOJ1430】小猴打架

一开始森林里面有N只互不相识的小猴子,它们经常打架,但打架的双方都必须不是好朋友。每次打完架后,打架的双方以及它们的好朋友就会互相认识,成为好朋友。经过N-1次打架之后,整个森林的小猴都会成为好朋友。 现在的问题是,总共有多少种不同的打架过程。 比如当N=3时,就有{1-2,1-3}{1-2,2-3}{1-3,1-2}{1-3,2-3}{2-3,1-2}{2-3,1-3}六种不同的打架过程。

我们发现:如果找到图的一条生成树那么有(n-1)!的状态展开

而这张图是n阶完全图那么根据cayley公式这个n阶完全图的生成树个数是N^{N-2}

这个证明就是Prufer序列

什么是Prufer序列?

这是一种完美的树hash。

一个长n-2的prufer序列完美对应一棵树

所以n阶完全图的生成树个数是N^{N-2}

什么是prufer序列

学习一类树的计数问题和Prufer序列【BZOJ1430】小猴打架_第1张图片

我们先把度数为1且编号最小的节点删掉,显然先一次删掉2,3,4,即图中的绿色节点,并在Purfer编码中加入其与父节点的连边。所以在删掉2,3,4后,Purfer编码为[1,1,1]。此时1号节点度数为1,且编号最小,所以应删去1号节点,接着删去6,7,8,号节点,即图中的红色节点。在删掉1,6,7,8,后,Purfer编码变为[1,1,1,5,5,5,5]。此时只剩下两个点,编码结束。

可以看出,Purfer编码唯一对应一棵树的形态。

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef int INT;
#define int long long
const int mod=9999991;
int Quick_Pow(int x,int k){
	int ret=1;
	while(k){
		if(k&1){
			ret=ret*x%mod;
		}
		x=x*x%mod;
		k/=2;
	}
	return ret;
}
int n;
INT main(){
	freopen("monkey.in","r",stdin);
	freopen("monkey.out","w",stdout);
	cin>>n;
	int ans=Quick_Pow(n,n-2);
	for(int i=1;i<=n-1;++i){
		ans=ans*i%mod;
	}
	cout<

 

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