NSFZOJ #1063. 【NOIP2016】天天爱跑步

NSFZOJ #1063. 【NOIP2016】天天爱跑步

题目描述

小 C 同学认为跑步非常有趣，于是决定制作一款叫做《天天爱跑步》的游戏。《天天爱跑步》是一个养成类游戏，需要玩家每天按时上线，完成打卡任务。

这个游戏的地图可以看作一棵包含 $n$ 个结点和 $n-1$ 条边的树，每条边连接两个结点，且任意两个结点存在一条路径互相可达。树上结点编号为从 $1$ 到 $n$ 的连续正整数。

现在有 $m$ 个玩家，第 $i$ 个玩家的起点为 Si S_i S​i​​，终点为Ti T_i T​i​​。每天打卡任务开始时，所有玩家在第$0$ 秒同时从自己的起点出发，以每秒跑一条边的速度，不间断地沿着最短路径向着自己的终点跑去，跑到终点后该玩家就算完成了打卡任务。（由于地图是一棵树，所以每个人的路径是唯一的）

小 C 想知道游戏的活跃度，所以在每个结点上都放置了一个观察员。在结点 $j$ 的观察员会选择在第 Wj W_j W​j​​ 秒观察玩家，一个玩家能被这个观察员观察到当且仅当该玩家在第 Wj W_jW​j​​ 秒也理到达了结点 $j$。小 C 想知道每个观察员会观察到多少人？

注意：我们认为一个玩家到达自己的终点后该玩家就会结束游戏，他不能等待一段时间后再被观察员观察到。即对于把结点 $j$ 作为终点的玩家：若他在第 Wj W_j W​j​​ 秒前到达终点，则在结点 $j$ 的观察员不能观察到该玩家；若他正好在第 Wj W_j W​j​​ 秒到达终点，则在结点 $j$ 的观察员可以观察到这个玩家。

输入格式

第一行有两个整数 $n$ 和 $m$。其中$n$ 代表树的结点数量，同时也是观察员的数量，$m$ 代表玩家的数量。

接下来 $n-1$ 行每行两个整数 $u$ 和 $v$，表示结点$u$ 到结点 $v$ 有一条边。

接下来一行 $n$ 个整数，其中第 $i$ 个整数为 Wi W_i W​i​​，表示结点$j$ 出现观察员的时间。

接下来 $m$ 行，每行两个整数 Si S_i S​i​​ 和 Ti T_i T​i​​，表示一个玩家的起点和终点。

对于所有的数据，保证 1≤Si,Ti≤n,0≤Wj≤n 1 \leq S_i, T_i \leq n, 0 \leq W_j \leq n1≤S​i​​,T​i​​≤n,0≤W​j​​≤n。

输出格式

输出一行 $n$ 个整数，第 $j$ 个整数表示结点 $j$ 的观察员可以观察到多少人。

样例

样例输入 1

6 3
2 3
1 2
1 4
4 5
4 6
0 2 5 1 2 3
1 5
1 3
2 6

样例输出 1

2 0 0 1 1 1

样例解释 1

对于 $1$ 号点，W1=0 W_1 = 0 W​1​​=0，故只有起点为$1$ 号点的玩家才会被观察到，所以玩家 1 和玩家 2 被观察到，共 $2$ 人被观察到。
对于 $2$ 号点，没有玩家在第 $2$ 秒时在此结点，共 $0$ 人被观察到。
对于 $3$ 号点，没有玩家在第 $5$ 秒时在此结点，共 $0$ 人被观察到。
对于 $4$ 号点，玩家 $1$ 被观察到，共 $1$ 人被观察到。
对于 $5$ 号点，玩家 $2$ 被观察到，共 $1$ 人被观察到。
对于 $6$ 号点，玩家 $3$ 被观察到，共 $1$ 人被观察到。

样例输入 2

5 3
1 2
2 3
2 4
1 5
0 1 0 3 0
3 1
1 4
5 5

样例输出 2

1 2 1 0 1

数据范围与提示

每个测试点的数据规模及特点如下表所示。提示：数据范围的个位上的数字可以帮助判断是哪一种数据类型。

测试点编号	$n$	$m$	约定
1	$=991$	$=991$	所有人的起点等于自己的终点，即 Si=TiS_i = T_iS​i​​=T​i​​
2
3	$=992$	$=992$	Wj=0W_j=0W​j​​=0
4
5	$=993$	$=993$	无
6	$=99994$	$=99994$	树退化成一条链，其中 $1$ 与 $2$ 有边，$2$ 与 $3$ 有边，$\dots$，$n-1$ 与 $n$ 有边
7
8
9	$=99995$	$=99995$	所有的 Si=1S_i=1S​i​​=1
10
11
12
13	$=99996$	$=99996$	所有的 Ti=1T_i=1T​i​​=1
14
15
16
17	$=99997$	$=99997$	无
18
19
20	$=299998$	$=299998$

NOIP2016D1T2，也是那场最难的一题，当时连树剖都不会。。只能水前四十分。。

看了好多题解看不懂，然后自己画图想了一晚上，想出个大概，于是就码了。码完改改错（其实有大量问题）

思路：部分分对应的数据特点已经提示得很明白了：链——每个点的答案只与它所在的链有关；S=1——只考虑上升段的链很简单；T=1——只考虑下降段的链也不难；

于是想到将每条链拆成上升与下降，记Dep[i]为结点i的深度，t[i]为结点i处观察员观察的时间点，lca[i]表示第i条链两端点的lca，s[i]与t[i]分别表示两端点，L[i]表示这条链的长度那么对于上升段满足：Dep[s[i]]=Dep[u]+t[u];           而对于下降段满足：L[i]-Dep[t[i]]=t[u]-Dep[u];

用一个桶去存左边的结果，也就是说，只要对一个结点的子树进行DFS，那么DFS前后这个桶的变化量就是子树对它的贡献（<-这句话很重要！）。

那么在什么位置将链的信息插入桶中呢？这里要用到差分的思想：只考虑上升段，则能被这段贡献的结点应该是从s[i]到lca[i]，那么只要在s[i]处插入桶，并在lca[i]父亲处删除这条信息，就能做到只对这条链产生影响（<-这句话也很重要）。下降段亦然。

核心问题就这样解决了，还剩一个细节问题：上升段和下降段有交集：lca[i]，如果这条链恰好会使lca[i]的答案加1的话，那么刚才的算法会多加1，只要把这些点特判掉就行了。

代码