关于一个欧拉函数的性质的证明

性质

对于任意的 n∈N∗ ，有：

∑d|nφ(d)=n

证明

方法一

设集合

M={1,2,3,⋯,n−1,n}

我们尝试将集合中的数分类。
每个数都能按照其与 n 的最大公因数来分。
不妨设我们当前讨论 M 中与 n 的最大公因数为 d 的数有多少个， d|n 。
假设 dx∈M 并且 gcd(dx,n)=d ，
那么 gcd(x,nd)=1 ，且 x 属于集合

M′={1,2,⋯,nd}

这样，个数显然就是 x 的所有可能取值也就是 φ(nd) 。
当 d 跑遍 n 的因子时， nd 也跑遍 n 的因子。因为每个数与 n 的最大公因数是确定的，因此每个数分类时会且仅会被分一次。
所以，可以得出结论

∑d|nφ(d)=n

方法二

设

f(n)=∑d|nφ(d)

首先，当 n=1 时，

f(1)=1

性质显然成立.
当 n=p 时( p 为质数)，

f(n)=φ(1)+φ(n)=1+(n−1)=n

显然成立.
当 n=pk 时，

f(n)=1+∑i=0k−1pi(p−1)

=1+(p−1)∑i=0k−1pi

=1+(p−1)∗pk−1p−1=1+pk−1=pk=n

成立.
因为 φ(n) 是积性函数，根据莫比乌斯反演的充要性，得 f(n) 是积性函数.
对于一般形式 n=∏ki=1piei

f(n)=∏ki=1f(piei)

=∏ki=1piei

=n

另外还有一种证法参见 Alan的blog(%%%)
数论大师Drin_E的博客上也有一种证法： 传送门