全微分

一、全微分定义

1.1、偏增量与偏微分

1.2、全增量

1.3、全微分定义：用自变量增量$\Delta x,\Delta y$的线性函数近似代替全增量$\Delta z$

• $\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$
• 线性函数代替 $\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho )$
• A， B 不依赖于$\Delta x,\Delta y$，只和x，y有关
• $\rho =\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}$
  • 为了同时兼顾$\Delta x,\Delta y$，
  • 而且 $\rho \to 0\iff (x,y)\to (0,0)$
• 全微分： $dz=A\Delta x+B\Delta y$

1.3.1、两个常数，不是任意值，而是偏导数

因为$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$

当$\Delta x=0,则\Delta z=f(x,y+\Delta y)-f(x,y)$，根据一元函数微分学导数与微分关系可知：
   $\Delta z=f_y^{{}^{\prime }}(x,y)\Delta y(1)式$
又因为全微分定义： $\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho )$, $\Delta x=0时$ 则：
  $\Delta z=B\Delta y+o(|\Delta y|)(2)式$

(1)式等于(2)式，所以$f_y^{{}^{\prime }}(x,y)\Delta y=B\Delta y$

同理：$\Delta y=0时，f_x^{{}^{\prime }}(x,y)\Delta x=A\Delta x$
两个常数，不是任意值，而是偏导数

1.3.2、可微与连续的关系： 可微则函数必连续

1.4、可微的条件

1.4.1、可微的必要条件

1.4.1.1、偏导存在只是可微的必要而非充分条件

• 一元函数的导数存在是微分存在的充要条件
  

1.4.2、可微的充分条件： 偏导函数连续

1.4.2.1、证明

1.5、微分条件的推广到多元

二、全微分在近似计算中应用