【量化笔记】时间序列--ARCH模型及GARCH模型

本文内容

• ARCH模型
  • ARCH模型的建模过程
• GARCH模型

金融数据的时间序列，有以下几个普遍现象

• 一组时间序列本身可能只有非常微弱的自相关性，而这组时间序列的函数（比如平方，绝对值等）呈现很强的自相关性
• 有些资产收益率序列的条件方差会随着时间发生改变，也就是呈现条件异方差性。
• 资产收益率序列的波动会有持续的现象，大波动跟着大波动，小波动跟着小波动，也就是波动聚集现象。
• 许多资产收益率序列不服从正态分布，期极端之较多，具有厚尾现象。

ARCH模型

ARCH模型认为模型的序列值波动与其过去p期的波动有关。模型表达式为：
$$\begin{gathered} {ϵ}_t={\sigma }_t{u}_t \\ {\sigma }_t^2={\alpha }_0+{\alpha }_1{ϵ}_{t-1}^2+...+{\alpha }_p{ϵ}_{t-p}^2 \end{gathered}$$

ARCH模型的建模过程

1. 设定一个适合的阶数p，在检验得知时间序列确实存在ARCH效应的条件下，我们可以用${ϵ}_t^2$的偏自相关函数（PACF）来确定p。
2. 我们假设$u_t$服从以下三种分布中的一种来进行估计：标准正态分布，标准化的学生t分布和广义误差分布。然后用最大似然法对参数进行估计。
3. 对参数进行检验，标准化残差$\widehat{u_t}=\frac{\widehat{{ϵ}_t}}{\widehat{{\sigma }_t}}$是独立同分布的随机过程。因此$\widehat{u_t}$和${\hat{u}}_t^2$的Ljung-Box统计量可以分别用来检验均值方差和波动率方程的正确性。

GARCH模型

GARCH模型认为时间序列每个时间点的波动率是最近p个时间点残差平方的线性组合，与最近q个时间点变量波动率的线性组合加起来得到，模型表达式为：
$$\begin{gathered} {ϵ}_t={\sigma }_t{u}_t \\ {\sigma }_t^2={\alpha }_0+{\sum }_{i=1}^p{\alpha }_i{ϵ}_{t-i}^2+{\sum }_{j=1}^q{\beta }_j{\sigma }_{t-j}^2 \end{gathered}$$