编程之美1：那些关于1的个数的经典面试题

那些关于1的个数的经典面试题

好长时间没有练算法了，笔试题一做，发现非常吃力，所以近日来找来《编程之美》一书来看看练练。为了激励自己多练，楼楼可能会出个专栏什么的，感兴趣的同学我们可以一起抱团，楼楼也会保证每天都会更新。那今天呢，就是《编程之美》的第一题了，原题叫做“1”的数目，楼楼会把这道题还有相关的一些题都会记录下来，下面要开始了哦，Are you ready?

题目1 给定一个十进制正整数N，写下从1开始，到N的所有整数，然后数一下其中出现的所有“1”的个数

• 解法1 暴力穷举

我相信如果是我们正在处于笔试或者面试的当场，暴力穷举肯定是我们的第一个想法。一个一个算，算出1中出现“1”的个数，再算出2中出现“1”的个数，依次类推，直到N中“1”的个数，然后相加得出最后的结论。我们看代码：

#include   

using namespace std;  
int getOneShowTimes(unsigned int n) ;
int getOneShowSumTimes(unsigned int N) ;

int main()  
{  
    unsigned int N = 123;
    cout << "1出现的次数为：" << getOneShowSumTimes(N) << endl;
    system("pause");
}  

int getOneShowSumTimes(unsigned int N) 
{
    unsigned int count = 0;
    for (unsigned int i = 0; i <= N; i++)
    {
        count += getOneShowTimes(i);
    }
    return count;
}

int getOneShowTimes(unsigned int n) 
{
    unsigned count = 0;
    while(0 != n) 
    {
        count += (n % 10) == 1 ? 1 : 0;
        n /= 10;
    }
    return count;
}

我们分析一下复杂度，外层循环要循环N次，内存循环要循环 log10N+1 次，所以总的复杂度为 O(N(log10N+1)) ，可以看出这个复杂度是比较高的。

下面我们想想，有没有更简单的办法呢？比如对于一个三位数123而言，“1”只能在个位出现，或者十位出现或者千位出现。如果是按照这个原理来统计的，那我们可以完全将外层循环降低到 log10N+1 次。那我们来写几个例子来寻找一下规律。

• 解法2 逐位统计法

如123，那么

个位出现1	十位出现1	百位出现1
1	10	100
11	11	101
21	12	102
31	13	103
41	14	104
51	15	…
61	16
71	17
81	18
91	19
101	110
111	…
121	119	123
共计13次	共计20次	共计24次
猜想公式 N/10+1	猜想公式 (N/100+1)∗10	猜想公式 (N/1000)∗100+N%100+1

但是在这里有我们有几个特殊的情况需要特别考虑，如相应的位数为0怎么办？比如51和50结果是完全不一样的。还有相应的位数为1怎么办？12和22的结果也是不一样的。我下面把结果罗列出来，大家也可以试着推导一下。

分情况	个位出现1	十位出现1	百位出现1
bit = 0	(N/10)∗1	(N/100)∗10	(N/1000)∗100
bit = 1	(N/10)∗1+N%1+1	(N/100)∗10+N%10+1	(N/1000)∗100+N%100+1
bit > 1	(N/10+1)∗1	(N/100+1)∗10	(N/1000+1)∗100

总结一下，假设每一位对应的权值为quan，如个位quan = 1,十位quan = 10，那么总的公式为

bit=0	bit=1	bit>1
(N/(10∗quan))∗quan	(N/(10∗quan))∗quan+N%quan+1	(N/(10∗quan)+1)∗quan

下面看代码：

package net.mindview.util;

public class MyThread {
  public static void main(String[] args) {
      int N = 123;
      System.out.println("总共出现" + getOneShowTimes(N) + "次");
  }

  public static int getOneShowTimes(int N) {
      int numPerBit; //存储每一位的数目
      int sumTimes = 0;  //存储最后的结果
      int quan = 1;      //每一位的权值，各位为1，十位为10，依次类推
      int tempN = N;
      if (0 == N) {
          return 0;
      }
      while(0 != tempN) {
          numPerBit = tempN % 10;     
          sumTimes += getOneShowTimesPerBit(N, numPerBit, quan);
          tempN /= 10;
          quan *= 10;
      }
      return sumTimes;
  }

  public static int getOneShowTimesPerBit(int N, int numPerBit, int quan) {
      if (0 == numPerBit) {
          return N / (quan * 10) * quan;
      } else if (1 == numPerBit) {
          return (N / (quan * 10)) * quan + N % quan + 1;
      } else {
          return (N / (quan * 10) + 1 ) * quan;
      }
  }
}

非常不好意思，这里的代码是Java的，因为原来就写好了，我就懒得再写成c++的了，请见谅哈！复杂度为 O(log10N+1) ，可以看出来效率是提升了很多的。下面我们来看第二个题。

题目二：给定一个十进制正整数N，写下从1开始，到N的所有整数，然后数一下其中二进制中出现的所有“1”的个数

题目一是十进制，题目二是二进制。注意这里的区别。那我们同样写写看，看能不能找出什么规律

假设N=3，那么我们看每一位出现“1”的次数之和都是相等的，都是2次。那么结果就是2 * 2=4总共四次。其次，假设N=7，我们又惊奇地发现，所有小于7的数中每一位出现“1”的次数之和也是相等的，每一位出现“1”的次数之和为4，那么结果就是3 * 4 = 12次。那我们可以猜想，当N=15时，总数为4 * 8 = 32次。这是非常理想的情况，那当N = 13呢？很easy，N=13，我们就先算N = 7。还剩下6个数，观察一下我们可以发现，剩下的6个数中“1”出现的次数=最小的6个数“1”出现的次数+6。那么我们就把问题降下来了，本来是要求左边6个数中1出现的个数，转变成了求右边6个数中1出现的个数。

本来要求的“1”出现的个数	简化之后要求的“1”出现的个数
1000	0000
1001	0001
1010	0010
1011	0011
1100	0100
1101	0101

那么剩下的6个数，又可以重复前面的步骤，先求N=3。
总结一下，假设不大于N的最小的2的次方数为 biggest2Pow
log2(biggest2Pow)∗biggest2Pow2+(N+1)−biggest2Pow
不断递归上述过程，直接看代码吧，感觉说不清楚：

package net.mindview.util;

public class MyThread {
  public static void main(String[] args) {
      int N = 13;
      System.out.println("总共出现" + getOneShowTimes(N + 1) + "次");
  }

  public static int getOneShowTimes(int N) {
      int biggest2Pow = 0;
      int left = N;
      int result = 0;
      while(0 != left) {          
          biggest2Pow = getBiggest2Pow(left);
          left = left - biggest2Pow;
          result += biggest2Pow / 2 * getLog2N(biggest2Pow) + left;
      }
      return result;
  }

  //求不大于N最大2次幂整数
  public static int getLog2N(int N) {
      return (int)(Math.log((double)N) / Math.log((double)2));

  }

  public static int getBiggest2Pow(int N) {
      int factor = getLog2N(N);
      return (int) Math.pow(2, factor);
  }
}

代码比较好理解，很短。有不清楚的可以给我留言哈！

题目三：求一个无符号数N中二进制表示中“1”出现的个数

和题目2的区别是，题目2要求算的是1,2,3….N所有数中“1”出现的个数之和。题目三只要求求一个数N中“1”出现的次数之和。下面的解法转载自http://www.cnblogs.com/graphics/archive/2010/06/21/1752421.html#commentform。

• 解法1：普通法

int BitCount(unsigned int n)
{
    unsigned int c =0 ; // 计数器
    while (n >0)
    {
        if((n &1) ==1) // 当前位是1
            ++c ; // 计数器加1
        n >>=1 ; // 移位
    }
    return c ;
}

• 解法2：快速法

这种方法速度比较快，其运算次数与输入n的大小无关，只与n中1的个数有关。如果n的二进制表示中有k个1，那么这个方法只需要循环k次即可。其原理是不断清除n的二进制表示中最右边的1，同时累加计数器，直至n为0，代码如下

int BitCount2(unsigned int n)
{
    unsigned int c =0 ;
    for (c =0; n; ++c)
    {
        n &= (n -1) ; // 清除最低位的1
    }
    return c ;
}

为什么n &= (n – 1)能清除最右边的1呢？因为从二进制的角度讲，n相当于在n - 1的最低位加上1。举个例子，8（1000）= 7（0111）+ 1（0001），所以8 & 7 = （1000）&（0111）= 0（0000），清除了8最右边的1（其实就是最高位的1，因为8的二进制中只有一个1）。再比如7（0111）= 6（0110）+ 1（0001），所以7 & 6 = （0111）&（0110）= 6（0110），清除了7的二进制表示中最右边的1（也就是最低位的1）。
- 解法3：快速法
由于表示在程序运行时动态创建的，所以速度上肯定会慢一些，把这个版本放在这里，有两个原因

1. 介绍填表的方法，因为这个方法的确很巧妙。

2. 类型转换，这里不能使用传统的强制转换，而是先取地址再转换成对应的指针类型。也是常用的类型转换方法。

int BitCount3(unsigned int n) 
{ 
    // 建表
    unsigned char BitsSetTable256[256] = {0} ; 

    // 初始化表 
    for (int i =0; i <256; i++) 
    { 
        BitsSetTable256[i] = (i &1) + BitsSetTable256[i /2]; 
    } 

    unsigned int c =0 ; 

    // 查表
    unsigned char* p = (unsigned char*) &n ; 

    c = BitsSetTable256[p[0]] + 
        BitsSetTable256[p[1]] + 
        BitsSetTable256[p[2]] + 
        BitsSetTable256[p[3]]; 

    return c ; 
}

先说一下填表的原理，根据奇偶性来分析，对于任意一个正整数n

1.如果它是偶数，那么n的二进制中1的个数与n/2中1的个数是相同的，比如4和2的二进制中都有一个1，6和3的二进制中都有两个1。为啥？因为n是由n/2左移一位而来，而移位并不会增加1的个数。

2.如果n是奇数，那么n的二进制中1的个数是n/2中1的个数+1，比如7的二进制中有三个1，7/2 = 3的二进制中有两个1。为啥？因为当n是奇数时，n相当于n/2左移一位再加1。

再说一下查表的原理

对于任意一个32位无符号整数，将其分割为4部分，每部分8bit，对于这四个部分分别求出1的个数，再累加起来即可。而8bit对应2^8 = 256种01组合方式，这也是为什么表的大小为256的原因。

注意类型转换的时候，先取到n的地址，然后转换为unsigned char*，这样一个unsigned int（4 bytes）对应四个unsigned char（1 bytes），分别取出来计算即可。举个例子吧，以87654321（十六进制）为例，先写成二进制形式-8bit一组，共四组，以不同颜色区分，这四组中1的个数分别为4，4，3，2，所以一共是13个1，如下面所示。

10000111 01100101 01000011 00100001 = 4 + 4 + 3 + 2 = 13

• 解法四：静态表-4bit

原理和8-bit表相同，详见8-bit表的解释

int BitCount4(unsigned int n)
{
    unsigned int table[16] = 
    {
        0, 1, 1, 2, 
        1, 2, 2, 3, 
        1, 2, 2, 3, 
        2, 3, 3, 4
    } ;

    unsigned int count =0 ;
    while (n)
    {
        count += table[n &0xf] ;
        n >>=4 ;
    }
    return count ;
}

• 解法五：静态表-8bit
  首先构造一个包含256个元素的表table，table[i]即i中1的个数，这里的i是[0-255]之间任意一个值。然后对于任意一个32bit无符号整数n，我们将其拆分成四个8bit，然后分别求出每个8bit中1的个数，再累加求和即可，这里用移位的方法，每次右移8位，并与0xff相与，取得最低位的8bit，累加后继续移位，如此往复，直到n为0。所以对于任意一个32位整数，需要查表4次。以十进制数2882400018为例，其对应的二进制数为10101011110011011110111100010010，对应的四次查表过程如下：红色表示当前8bit，绿色表示右移后高位补零。

第一次（n & 0xff） 10101011110011011110111100010010

第二次（(n >> 8) & 0xff） 00000000101010111100110111101111

第三次（(n >> 16) & 0xff）00000000000000001010101111001101

第四次（(n >> 24) & 0xff）00000000000000000000000010101011

int BitCount7(unsigned int n)
{ 
    unsigned int table[256] = 
    { 
        0, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 
        1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 
        1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 
        2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6, 
        1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 
        2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6, 
        2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6, 
        3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6, 4, 5, 5, 6, 5, 6, 6, 7, 
        1, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 
        2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6, 
        2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6, 
        3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6, 4, 5, 5, 6, 5, 6, 6, 7, 
        2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 5, 3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6, 
        3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6, 4, 5, 5, 6, 5, 6, 6, 7, 
        3, 4, 4, 5, 4, 5, 5, 6, 4, 5, 5, 6, 5, 6, 6, 7, 
        4, 5, 5, 6, 5, 6, 6, 7, 5, 6, 6, 7, 6, 7, 7, 8, 
    }; 

    return table[n &0xff] +
        table[(n >>8) &0xff] +
        table[(n >>16) &0xff] +
        table[(n >>24) &0xff] ;
}

当然也可以搞一个16bit的表，或者更极端一点32bit的表，速度将会更快。

• 解法六：平行算法

网上都这么叫，我也这么叫吧，不过话说回来，的确有平行的意味在里面，先看代码，稍后解释

int BitCount4(unsigned int n) 
{ 
    n = (n &0x55555555) + ((n >>1) &0x55555555) ; 
    n = (n &0x33333333) + ((n >>2) &0x33333333) ; 
    n = (n &0x0f0f0f0f) + ((n >>4) &0x0f0f0f0f) ; 
    n = (n &0x00ff00ff) + ((n >>8) &0x00ff00ff) ; 
    n = (n &0x0000ffff) + ((n >>16) &0x0000ffff) ; 

    return n ; 
}

速度不一定最快，但是想法绝对巧妙。 说一下其中奥妙，其实很简单，先将n写成二进制形式，然后相邻位相加，重复这个过程，直到只剩下一位。

以217（11011001）为例，有图有真相，下面的图足以说明一切了。217的二进制表示中有5个1

• 完美法

int BitCount5(unsigned int n) 
{
    unsigned int tmp = n - ((n >>1) &033333333333) - ((n >>2) &011111111111);
    return ((tmp + (tmp >>3)) &030707070707) %63;
}

最喜欢这个，代码太简洁啦，只是有个取模运算，可能速度上慢一些。区区两行代码，就能计算出1的个数，到底有何奥妙呢？为了解释的清楚一点，我尽量多说几句。

第一行代码的作用

先说明一点，以0开头的是8进制数，以0x开头的是十六进制数，上面代码中使用了三个8进制数。

将n的二进制表示写出来，然后每3bit分成一组，求出每一组中1的个数，再表示成二进制的形式。比如n = 50，其二进制表示为110010，分组后是110和010，这两组中1的个数本别是2和3。2对应010，3对应011，所以第一行代码结束后，tmp = 010011，具体是怎么实现的呢？由于每组3bit，所以这3bit对应的十进制数都能表示为2^2 * a + 2^1 * b + c的形式，也就是4a + 2b + c的形式，这里a,b,c的值为0或1，如果为0表示对应的二进制位上是0，如果为1表示对应的二进制位上是1，所以a + b + c的值也就是4a + 2b + c的二进制数中1的个数了。举个例子，十进制数6（0110）= 4 * 1 + 2 * 1 + 0，这里a = 1, b = 1, c = 0, a + b + c = 2，所以6的二进制表示中有两个1。现在的问题是，如何得到a + b + c呢？注意位运算中，右移一位相当于除2，就利用这个性质！

4a + 2b + c 右移一位等于2a + b

4a + 2b + c 右移量位等于a

然后做减法

4a + 2b + c –(2a + b) – a = a + b + c，这就是第一行代码所作的事，明白了吧。

第二行代码的作用

在第一行的基础上，将tmp中相邻的两组中1的个数累加，由于累加到过程中有些组被重复加了一次，所以要舍弃这些多加的部分，这就是&030707070707的作用，又由于最终结果可能大于63，所以要取模。

需要注意的是，经过第一行代码后，从右侧起，每相邻的3bit只有四种可能，即000, 001, 010, 011，为啥呢？因为每3bit中1的个数最多为3。所以下面的加法中不存在进位的问题，因为3 + 3 = 6，不足8，不会产生进位。

tmp + (tmp >> 3)-这句就是是相邻组相加，注意会产生重复相加的部分，比如tmp = 659 = 001 010 010 011时，tmp >> 3 = 000 001 010 010，相加得

001 010 010 011

000 001 010 010

---

001 011 100 101

011 + 101 = 3 + 5 = 8。（感谢网友Di哈指正。）注意，659只是个中间变量，这个结果不代表659这个数的二进制形式中有8个1。

注意我们想要的只是第二组和最后一组（绿色部分），而第一组和第三组（红色部分）属于重复相加的部分，要消除掉，这就是&030707070707所完成的任务（每隔三位删除三位），最后为什么还要%63呢？因为上面相当于每次计算相连的6bit中1的个数，最多是111111 = 77（八进制）= 63（十进制），所以最后要对63取模。