[ 生成函数 ] Codeforces891E Lust

设 bi b i 表示 ai a i 减了几次，那么答案就是 ∏ni=1ai−∏ni=1(ai−bi) ∏ i = 1 n a i − ∏ i = 1 n ( a i − b i ) 。可以对每次操作分开计算贡献得到。
然后就是怎么求 ∏ni=1(ai−bi) ∏ i = 1 n ( a i − b i ) 的期望。令 k=∑bi k = ∑ b i 。

E=1nkk!∏ni=1bi!∏i=1n(ai−bi)=k!nk⋅∏i=1n(ai−bi)bi! E = 1 n k k ! ∏ i = 1 n b i ! ∏ i = 1 n ( a i − b i ) = k ! n k · ∏ i = 1 n ( a i − b i ) b i !

然后考虑怎么求 ∏ni=1(ai−bi)bi! ∏ i = 1 n ( a i − b i ) b i ! 。
构造生成函数：

F(x)=∏i=1n∑j=0∞ai−jj!xj=∏i=1n∑j=0∞aixjj!−x⋅xj−1(j−1)!=∏i=1n(ai−x)ex=enx∏i=1n(ai−x) F ( x ) = ∏ i = 1 n ∑ j = 0 ∞ a i − j j ! x j = ∏ i = 1 n ∑ j = 0 ∞ a i x j j ! − x · x j − 1 ( j − 1 ) ! = ∏ i = 1 n ( a i − x ) e x = e n x ∏ i = 1 n ( a i − x )

令 G(x)=∏ni=1(ai−x)=∑ni=0cixi G ( x ) = ∏ i = 1 n ( a i − x ) = ∑ i = 0 n c i x i 。
其中 ci c i 可以 O(n2) O ( n 2 ) 求出。

[xk]F(x)=∑i=0ncink−i(k−i)! [ x k ] F ( x ) = ∑ i = 0 n c i n k − i ( k − i ) !

E=∑i=0nci∏kj=k−i+1jni E = ∑ i = 0 n c i ∏ j = k − i + 1 k j n i

然后就好了。

#include
using namespace std;
const int N=5010;
const int M=1000000007;
int k,n,m,x,Ans,s=1;
int c[N],d[N];
inline void Add(int& x,int y){
    x=(x+y)%M;
}
inline int Pow(int x,int y){
    int Ans=1;
    for(;y;y>>=1,x=1ll*x*x%M)
    if(y&1)Ans=1ll*Ans*x%M;
    return Ans;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&k);
    c[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&x);
        s=1ll*s*x%M;
        for(int j=0;j1ll*c[j]*x%M;
        for(int j=0;j1],-c[j]);
        memcpy(c,d,sizeof(d));
    }
    int inv=Pow(n,M-2);
    for(int i=0,t=1,T=1;i<=n;i++){
        Add(Ans,1ll*c[i]*T%M*t%M);
        t=1ll*t*inv%M;T=1ll*T*(k-i)%M;
    }
    Add(s,-Ans);
    cout<<(s+M)%M<return 0;
}