HDU 6559 The Tower 题解(计算几何)

题目链接

题目大意

给出一个底部圆圆心为（0，0，0），半径为r，高为h的圆锥，问起始位置为$（x_0，y_0，z_0）$，方向为$（v_x,v_y,v_z）$的点撞上圆锥的时间。

题目思路

想了一段时间都没什么思路，其实就是很普通的一个解方程。。。

假设碰撞点的坐标为(x,y,z)那么根据相似三角形

$\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{r}=\frac{h-z}{h}$然后根据

$$\begin{gathered} x=x_0+v_x\ast t \\ y=y_0+v_y\ast t \\ z=z_0+v_z\ast t \end{gathered}$$
可以推导出

$(v_x^2{h}^2+v_y^2{h}^2-r^2{v}_z^2)\ast t^2+(2x_0{v}_x{h}^2+2y_0{v}_y{h}^2+2h{v}_z{r}^2-2z_0{v}_z{r}^2)\ast t+x_0^2{h}^2+y_0^2{h}^2-r^2{h}^2-r^2{z}_0^2+2h{z}_0{r}^2=0$

然后不就是解一个二元一次方程吗

$$\begin{gathered} a=v_x^2{h}^2+v_y^2{h}^2-r^2{v}_z^2 \\ b=2x_0{v}_x{h}^2+2y_0{v}_y{h}^2+2h{v}_z{r}^2-2z_0{v}_z{r}^2 \\ c=x_0^2{h}^2+y_0^2{h}^2-r^2{h}^2-r^2{z}_0^2+2h{z}_0{r}^2 \\ x=\frac{-b\frac{+}{}\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{gathered}$$

要注意的是，我们写出的圆锥方程是$z\in [0,h]$的，而在程序中没有表示所以是上下两个圆锥底对底拼在一起的，因此我们得到两个撞击点。因为保证了撞击点是存在的，所以我们只需要判断，$t_1$时的撞击点是否满足$t_1>0$且$0<=z_0+v_z\ast t_1<=h$

代码

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define fi first
#define se second
#define debug printf(" I am here\n");
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
const ll INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int maxn=1e5+5,inf=0x3f3f3f3f,mod=1e9+7;
const double eps=1e-10;
int tot;
double r,h,x0,y0,z0,vx,vy,vz;
signed main(){
    int _;scanf("%d",&_);
    while(_--){
        scanf("%lf%lf",&r,&h);
        scanf("%lf%lf%lf",&x0,&y0,&z0);
        scanf("%lf%lf%lf",&vx,&vy,&vz);
        double a=vx*vx*h*h+vy*vy*h*h-r*r*vz*vz;
        double b=2*x0*vx*h*h+2*y0*vy*h*h+2*h*vz*r*r-2*z0*vz*r*r;
        double c=x0*x0*h*h+y0*y0*h*h-r*r*h*h-r*r*z0*z0+2*h*z0*r*r;
        double t1=(-b-sqrt(b*b-4*a*c))/(2*a);
        double t2=(-b+sqrt(b*b-4*a*c))/(2*a);
        if(t1>t2) swap(t1,t2);
        if(t1<0){
            printf("Case %d: %.10f\n",++tot,t2);
        }else{
            if(0<=z0+vz*t1&&z0+vz*t1<=h){
                printf("Case %d: %.10f\n",++tot,t1);
            }else{
                printf("Case %d: %.10f\n",++tot,t2);
            }
        }
    }
    return 0;
}