计算复杂性第七章——时间复杂性

一、度量复杂性

语言：$A=\{0^k{1}^k|k\ge 0\}$，显然该语言可判定

• $M1$：单带图灵机
• $M2$：更快的单带图灵机
• $M3$：双带图灵机

时间复杂度定义：令M是一个在所有输入上都停机的确定型图灵机，f(n)是M在所有长度为n的输入上运行时所经过的最大步数，若f(n)是M的运行时间，则称M在时间f(n)内运行，M是f(n)时间图灵机，n是输入长度。

时间复杂性类定义：时间复杂度类$TIME(t(n))$为由$O(t(n))$时间的图灵机判定的所有语言的集合。

由恒等式$n=2^{lo{g}_2^n}$可得$n^c=2^{clo{g}_2^n}$，故而可以得到$2^{O(logn)}$表示$n^c$的一个上界。

$M1$

对于输入串$w$：

• 1.扫描带子，如果在1的右边发现0，就拒绝
• 2.如果带子上既有0也有1，就重复下一步
• 3.扫描带子，删除一个0和一个1
• 4.如果删除所有1后还有0或者删除所有0后还有1，就拒绝，否则接收

$A$语言在$M1$上$A\in TIME(n^2)$,
时间复杂度：$O(n^2)$

$M2$

对于输入串$w$：

• 1.扫描带子，如果在1的右边发现0，就拒绝
• 2.只要带子上还有0和1，就重复下面步骤
• 3.扫描带子，检查剩余的0，1的总数是偶数还是奇数，若是奇数则拒绝
• 4.再次扫描带子，从第一个0开始，隔一个删除一个0；然后从第一个1开始，隔一个删除一个1
• 5.如果袋子上不再有0和1，接收；否则拒绝

$A$语言在$M2$上$A\in TIME(nlogn)$,
时间复杂度：$O(nlogn)$

$M3$

对于输入串$w$:

• 1.扫描带子，如果在1的右边发现0，就拒绝
• 2.扫描带子1上的0，直到抵达第一个1时停止，同时将0复制到带子2上
• 3.扫描带子1上的1直到输入的末尾，每次从带子1上读到1个1，就在带子2上删除一个0，如果读完1之前所有的0都被删除，则拒绝
• 4.如果所有的0都被删除，则接受，如果还有0剩下，则拒绝

$A$语言在$M2$上$A\in TIME(n)$,
时间复杂度：$O(n)$

\quad 可以得到，A语言在单带图灵机上时间复杂度为$O(nlogn)$，在双带图灵机上时间复杂度为$O(n)$。由此可以得到：A的复杂度与选择的计算模型有关。

二、模型间的复杂性关系

\quad 考察三种计算模型：单带图灵机、多带图灵机和非确定型图灵机。
定理：设$t(n)$是一个函数，$t(n)\ge n$。则每一个$t(n)$时间的多带图灵机都和某个$O(t^2(n))$时间的单带图灵机等价。
定义：设$N$是一个非确定型图灵机，并且是个判定机，则其运行时间$f(n)$是在任何长度为n的输入上所有计算分支中的最大步数。
定理：设$t(n)$是一个函数，$t(n)\ge n$。则每一个$t(n)$时间的非确定型单带图灵机都和某个$O(2^{O(t(n))})$时间的确定型单带图灵机等价。

三、P类

定义：$P$是确定型单带图灵机在多项式时间内可判定的语言类：$P=U_{k}TIME(n^k)$
举例：判断两个数是否是互素、寻找有向图是否存在一条从s到t的路径，这类问题属于P。
定理：每一个上下文无关语言都是P的成员

四、NP类

定义：NP是具有多项式时间验证机的语言类。
验证机定义：语言A的验证机是一个算法V，这里$A=\{w|对某个字符串c,V接受<w,c>\}$。因为只根据$w$的长度来度量验证机的时间，所有多项式时间验证机在$w$的长度的多项式时间内运行。若A有一个多项式时间验证机，则称A语言多项式时间可验证。
定理：一个语言在NP中，当且仅当它能被某个非确定型多项式图灵机判定。
定义：$NTIME(t(n))=\{L|L是一个被O(t(n))时间的非确定型图灵机判定的语言\}$。
推论：$NP=U_{k}NTIME(n^k)$
NP问题举例：团问题、子集和问题。注意这些问题的补集不是很明显的属于NP，比如，验证某个图中不存在k个点的团，好像比验证它存在更困难。我们定义另外一个复杂类$coNP$，它包括NP中的语言的补语言。目前还不知道$coNP$是否与NP不同。

P与NP问题

• P=可以多项式时间判定的语言类
• NP=可以多项式时间验证的语言类

\quad P=NP？这个问题是目前最大的未解决的问题之一。目前已知最好的判定语言是NP的确定型方法是使用指数时间，既可以证明：$NP\subseteq EXPTIME=U_{k}TIME(2^{n^k})$。但是，不知道NP是否包含在更小的确定型时间复杂度类。

五、NPC问题

\quad 定义：NP问题中存在一类问题，这类问题中任何一个存在多项式时间算法，那么所有的NP问题都是多项式时间可解。这类问题称为NP完全问题。
举例：SAT问题（第一个被证明的NPC问题，COOK），团问题，顶点覆盖问题，哈密尔顿路径问题，子集和问题。
定理：$SAT\in P，当且仅当P=NP$

六、多项式时间可归约性

\quad 多项式时间规约：语言A可多项式时间规约到B，记为$A{\le }_{p}B$，若存在多项式时间可计算函数$f$，对于每一个$w$，有：$w\in A⟺f(w)\in B$，函数$f$称为A到B的多项式时间规约。
定理：$若A{\le }_{p}B且B\in P，则A\in P$。
证明：$N=对输入w:1.计算f(w);2.在输入f(w)上运行M，输出M的输出。$
上面两步都是多项式时间可计算的，两个多项式的合成还是多项式，故而$A\in P$。

一个规约问题的示例：$3SAT{\le }_p团问题$

NP完全性的定义和定理

定义：如果语言B满足下面两个条件，则称B是NP完全的：

• 1.B属于NP
• 2.NP中每个A都可以多项式时间可规约未B

当只满足条件2时称B是NPH问题。
定理：若$B\in NPC且B\in P，则P=NP$
证明：B是NPC的，故$B\in NP$且NP中每个A都可以归约到B，又因为$B\in P$，故而$A\in P$，故而$P=NP$。
定理：若$B\in NPC且B{\le }_{p}C且C\in NP$，则$C\in NPC$。
证明：核心目的在于证明NP中每个A都可以多项式归约到C。根据可规约性的等价关系，即A可多项式规约到B，B可多项式规约到C，故而A可多项式规约到C，又因为C是NP问题，故而C是NP完全的。