图论（十）——欧拉图和哈密尔顿图

一、欧拉图及其性质

两种问题背景：

• 对于图G，它在什么条件下满足从某点出发，经过每条边一次且仅一次，可以回到出发点
• 一笔画，对于一个图G, 笔不离纸, 一笔画成

\quad 概念：对于连通图G，如果G中存在经过每条边的闭迹，则称G为欧拉图，简称G为E图。欧拉闭迹又称为欧拉环游，或欧拉回路。即从图中任意一点出发，能找到一种方法遍历完所有边再回到该点的图称为欧拉图，有欧拉闭迹；若能遍历完所有的边但是没法回到起始点，称为非欧拉图但是有欧拉迹。如下图所示：

定理1：若G满足下列条件中的任意一个，则G是E图，且这些条件都是充要条件

• G的顶点度数为偶数
• G的边集合能划分为圈

推论：连通非欧拉图G存在欧拉迹当且仅当G中只有两个顶点度数为奇数

推论：若G和H是欧拉图，则GxH是欧拉图（证明其顶点度数都是偶数即可）

二、Fleury算法求解G中欧拉环游

\quad Fleury算法解决了在欧拉图中求出一条具体欧拉环游的方法。方法是尽可能避割边行走。算法流程如下：

• 任选一个起始点$v_0$
• 在与$v_0$相连接的边中选择一条非割边$e_0$，若实在没有非割边，则随便选择一条即可，此时到达该边的另一顶点$v_1$，找$G-e_0$中与$v_1$相连的非割边
• 如法炮制直到遍历完所有边

三、哈密尔顿图概念

\quad 如果经过图G的每个顶点恰好一次后能够回到出发点，称这样的图为哈密尔顿图，简称H图。所经过的闭途径是G的一个生成圈，称为G的哈密尔顿圈。(欧拉图是经过每条边再回去)
\quad 如果存在经过G的每个顶点恰好一次的路，称该路为G的哈密尔顿路，简称H路。

\quad 上图不是哈密尔顿图。因为在G中，边uv是割边，所以它不在G的任意圈上，于是u与v不能在G的同一个圈上。故G不存在包括所有顶点的圈，即G是非H图。但注意！！！它有哈密尔顿路！！！非哈密尔顿图有可能存在哈密尔顿路。也可知若图中存在割边，则该图一定不是H图。

四、哈密尔顿图的性质和判定

1、必要条件

\quad 若G为H图，则对V(G)的任意非空子集S，有：$$w(G-S)\le |S|$$
证明：G是H图，设C是G的H圈。则对V(G)的任意非空子集S, 容易知道:$$w(C-S)\le |S|$$因为G比C边数更多，故$$w(G-S)\le w(C-S)\le |S|$$。
注意：满足该条件的图不一定是H图（彼得森图）。但是不满足该条件的一定不是H图。

2、充分条件

\quad 对于$n\ge 3$的简单图G，如果G满足：$$\delta (G)\ge \frac{n}{2}$$那么G是H图。注意H图不一定满足这个定理，但满足这个定理的一定是H图。
\quad 美国耶鲁大学数学家奥尔院士考察不相邻两点度和情况，弱化了Dirac条件 ，得到一个光耀千秋的结果。对于$n\ge 3$的简单图G，如果G中的任意两个不相邻顶点u与v，有：$$d(u)+d(v)\ge n$$那么，G是H图。

3、充要条件

\quad 闭图：在n阶单图中，若对d (u) + d (v) ≧n 的任意一对顶点u与v，均有u adj v , 则称G是闭图。即不相邻顶点间度数和都小于n是闭图。
\quad 闭包：$\overline{G}$是G的闭包，如果它是包含G的极小闭图。
如果G本身是闭图，则其闭包是它本身；如果G不是闭图，则由定义可以通过在度和大于等于n的不相邻顶点对间加边来构造G的闭图。例如：

\quad (帮迪——闭包定理) 图G是H图当且仅当它的闭包是H图。
推论：若G是$n\ge 3$的简单图，若G的闭包是完全图，则G是H图。
由闭包定理也可以推出Dirac和Ore定理：

• 对于$n\ge 3$的简单图G，如果G满足：$\delta (G)\ge \frac{n}{2}$那么G是H图。
• 对于$n\ge 3$的简单图G，如果G中的任意两个不相邻顶点u与v，有：$d(u)+d(v)\ge n$那么，G是H图。

\quad H图的度序列判定法：设简单图G的度序列是$(d_1,d_2,\dots ,d_n)$, 这里，$d_1\leqq d_2\leqq \dots \leqq d_n$,并且n≧3.若对任意的m$d_m>m$,或有$d_{n-m}\geqq n-m$,则G是H图。