题解：数学考试（动态规划、前缀和）
题解：数学考试（动态规划、前缀和）
- 题目描述
- 题意分析：
- 知识点引入：
- 解题思路(数组下标从1开始)：
- 完整代码：
- 空间复杂度优化
数学考试
链接：https://ac.nowcoder.com/acm/problem/15553
来源：牛客网
题目描述
今天qwb要参加一个数学考试，这套试卷一共有n道题，每道题qwb能获得的分数为ai，qwb并不打算把这些题全做完，
他想选总共2k道题来做，并且期望他能获得的分数尽可能的大，他准备选2个不连续的长度为k的区间,
即[L,L+1,L+2,…,L+k-1]，[R,R+1,R+2,…,R+k-1]（R >= L+k）。
输入描述:
第一行一个整数T（T<=10）,代表有T组数据
接下来一行两个整数n,k,(1<=n<=200,000),(1<=k,2k <= n)
接下来一行n个整数a1,a2,…,an，（-100,000<=ai<=100,000）
输出描述:
输出一个整数，qwb能获得的最大分数
示例1
输入
2
6 3
1 1 1 1 1 1
8 2
-1 0 2 -1 -1 2 3 -1
输出
6
7
题意分析：
在n个连续排列的数中，选取两段长为k的区间，使得两端区间不相互重叠且这两段区间元素之和最大，求这个最大值。
样例分析：
2
6 3
1 1 1 1 1 1
黄色标明了选取的两段区间，最大值为6
8 2
-1 0 2 -1 -1 2 3 -1
黄色标明了选取的两段区间，最大值为7
知识点引入：
前缀和：前缀和可以理解为高中数学知识中数列的前n项和，sum[i]即为前i个元素之和，在循环读入的过程中，用sum[i]=sum[i-1]+a；即可得到前缀和数组。
解题思路(数组下标从1开始)：
p[i] 表示以第i个元素结尾的且区间长为k的元素之和，于是 p[i]=sum[i]-sum[i-k];
以下利用动态规划的解题技巧：
dp[i] 表示以i结尾的区间长为k的最大元素和。
dp数组的边界条件：
当区间长度恰好为k时，dp[k]=p[k]。即 if(i==k) dp[i]=p[i]
非边界条件下dp[i]的状态转移为:
else if(i>k) dp[i]= dp[i-1] > p[i] ? dp[i-1] : p[i];
(若以i结尾的k个元素和p[i]比前 i-1 个元素中连续k个元素和的最大值还要大，则前i个数中最大的长为K的区间和就是p[i],否则不变)
ddpp[i] 表示以i结尾的两端长为 k的区间的最大元素和
ddpp数组的边界条件：
当区间长恰为2*k时，ddpp[2*k]=p[2*k]+dp[k];
即if(i==2*k) ddpp[i]=p[i]+dp[i-k];
非边界条件下dp[i]的状态转移为:
else if(i>2*k)
ddpp[i]=(ddpp[i-1]>p[i]+dp[i-k] ? ddpp[i-1] : p[i]+dp[i-k]);
完整代码：
#include<stdio.h>
int main(){
int T;
scanf("%d",&T);
while(T--){
int n,k;
scanf("%d%d",&n,&k);
long long sum[200010];
long long p[200010];
long long dp[200010];
long long ddpp[200010];
for(int i=0;i<k;i++) dp[i]=0;
long long max;
sum[0]=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
long long a;
scanf("%lld",&a);
sum[i]=sum[i-1]+a;
if(i>=k)
p[i]=sum[i]-sum[i-k];
if(i==k)
dp[i]=p[i];
else if(i>k)
dp[i] = ( dp[i-1] > p[i] ? dp[i-1] : p[i] );
if(i==2*k)
ddpp[i]=p[i]+dp[i-k];
else if(i>2*k)
ddpp[i]=(ddpp[i-1]>p[i]+dp[i-k] ? ddpp[i-1] : p[i]+dp[i-k]);
}
printf("%lld\n",ddpp[n]);
}
return 0;
}
空间复杂度优化
可以将dp数组和ddpp数组换成变量dp和变量ddpp，以降低空间复杂度。
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