逆序对计数算法 -- 分治策略的应用

1、逆序对的定义

逆序对即序列中ai与aj，iaj，—— 就是序列排列在前面的元素，大于后面的元素。

2、朴素算法

2.1 算法描述

逆序对的朴素算法即暴力法，针对每个元素，遍历该元素后续的所有元素查找计算相当该元素的逆序对，如下图所示：

2.2 算法分析

时间复杂度O(n^2)，空间复杂度O(1)

3、归并排序法 -- 分治法

3.1 算法描述

采用归并排序的方法，将原问题划分成两个规模只有一半的子问题，分别求出各自的逆序对个数，最后加上两段之间的逆序对数，即是全部的逆序对数。

归并排序过程会对每个子问题进行排序，之后合并子问题的解。在合并解的过程中，可以计算逆序对，复杂度即O(n)。

具体实现待...

3.2 算法分析

分治法顾名思义，分而治之，将原问题划分成n个规模较小的问题，分别求解，最后通过合并得到的各子问题的解求出原问题的解。可以表示成如下递归式的概念：

根据主定理公式（CLRS 第4章）

在本例中有如下推论：

注意：分治后a和b的取值以及子问题解合并算法的复杂度f(n)之间的关系，如果分治后这3者的关系得到的原问题复杂度并没有减少，此时不宜采用分治法！

这方面的例子参考《算法设计》第5章分治策略5.5节整数乘法的第一种分治法：

        两大整数乘法朴素算法复杂度是n^2，分治后得到4个子问题，每个子问题规模是原问题的1/2，解合并的复杂度是o(n)，此时根据主定理得到的分治算法的复杂度同样是O(n^2)，相比朴素算法没有任何的减少，徒增了计算的复杂性！