机器学习笔记（八） 机器学习（逻辑回归-----计算概率）

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逻辑回归 (logistic regression)：一种模型，通过将 S 型函数应用于线性预测，生成分类问题中每个可能的离散标签值的概率。虽然逻辑回归经常用于二元分类问题，但也可用于多类别分类问题（其叫法变为多类别逻辑回归或多项回归）。

许多问题需要将概率估算值作为输出。逻辑回归是一种极其高效的概率计算机制。实际上，您可以通过下两种方式之一使用返回的概率：
“按原样”
转换成二元类别（简单介绍）

二元分类 (binary classification)：一种分类任务，可输出两种互斥类别之一。例如，对电子邮件进行评估并输出“垃圾邮件”或“非垃圾邮件”的机器学习模型就是一个二元分类器。

我们来了解一下如何“按原样”使用概率。假设我们创建一个逻辑回归模型来预测狗在半夜发出叫声的概率。我们将此概率称为： p(bark | night)
如果逻辑回归模型预测 p(bark | night) 的值为 0.05，那么一年内，狗的主人应该被惊醒约 18 次：
startled = p(bark | night) * nights
18 ~= 0.05 * 365

您可能想知道逻辑回归模型如何确保输出值始终落在 0 和 1 之间。巧合的是，S 型函数生成的输出值正好具有这些特性，其定义如下：

S 型函数会产生以下曲线图：

如果 z 表示使用逻辑回归训练的模型的线性层的输出，则 S 型(z) 函数会生成一个介于 0 和 1 之间的值（概率）。用数学方法表示为：

其中：
y’ 是逻辑回归模型针对特定样本的输出。
z 是 b + w1x1 + w2x2 + … wNxN
w 的值是该模型学习的权重，b 是偏差。
x 的值是特定样本的特征值。

注意，z 也称为对数几率，因为 S 型函数的反函数表明，z 可定义为标签“1”（例如“狗叫”）的概率除以标签“0”（例如“狗不叫”）的概率得出的值的对数：

S 型函数 (sigmoid function)：一种函数，可将逻辑回归输出或多项回归输出（对数几率）映射到概率，以返回介于 0 到 1 之间的值。
在逻辑回归问题中，σ 非常简单：σ=b+w1x1+w2x2+…wnxn
换句话说，S 型函数可将 σ 转换为介于 0 到 1 之间的概率。

逻辑回归计算过程案例：

1.假设我们的逻辑回归模型具有学习了下列偏差和权重的三个特征：
b = 1
w1 = 2
w2 = -1
w3 = 5

进一步假设给定样本具有以下特征值：
x1 = 0
x2 = 10
x3 = 2

2.因此，对数几率：

将是： (1) + (2)(0) + (-1)(10) + (5)(2) = 1

3.因此，此特定样本的逻辑回归预测值将是 0.731（73.1%概率）：

逻辑回归损失函数：

线性回归的损失函数是平方损失。逻辑回归的损失函数是对数损失函数，定义如下：

其中：
(xy)ϵD 是包含很多有标签样本 (x,y) 的数据集。
y是有标签样本中的标签。由于这是逻辑回归，因此y的每个值必须是 0 或 1。
y’是对于特征集x的预测值（介于 0 和 1 之间）。

对数损失函数的方程式与 Shannon 信息论中的熵测量密切相关。它也是似然函数的负对数（假设“y”属于伯努利分布）。实际上，最大限度地降低损失函数的值会生成最大的似然估计值。

逻辑回归中的正则化

正则化在逻辑回归建模中极其重要。如果没有正则化，逻辑回归的渐近性会不断促使损失在高维度空间内达到 0。因此，大多数逻辑回归模型会使用以下两个策略之一来降低模型复杂性：
1.L2 正则化。
2.早停法，即，限制训练步数或学习速率

假设您向每个样本分配一个唯一 ID，且将每个 ID 映射到其自己的特征。如果您未指定正则化函数，模型会变得完全过拟合。这是因为模型会尝试促使所有样本的损失达到 0 但始终达不到，从而使每个指示器特征的权重接近正无穷或负无穷。当有大量罕见的特征组合且每个样本中仅一个时，包含特征组合的高维度数据会出现这种情况。
幸运的是，使用 L2 或早停法可以防止出现此类问题。

早停法 (early stopping)：一种正则化方法，是指在训练损失仍可以继续降低之前结束模型训练。使用早停法时，您会在验证数据集的损失开始增大（也就是泛化效果变差）时结束模型训练

总结

逻辑回归模型会生成概率。
对数损失函数是逻辑回归的损失函数。
逻辑回归被很多从业者广泛使用。