LeetCode题解——动态规划（二）

303. 区域和检索 - 数组不可变

给定一个整数数组 nums，求出数组从索引 i 到 j (i ≤ j) 范围内元素的总和，包含 i, j 两点。

示例：

给定 nums = [-2, 0, 3, -5, 2, -1]，求和函数为 sumRange()

sumRange(0, 2) -> 1
sumRange(2, 5) -> -1
sumRange(0, 5) -> -3
说明:

你可以假设数组不可变。
会多次调用 sumRange 方法。

缓存

此题简单，直接看代码。

class NumArray {
    private int[] sums;

    public NumArray(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        this.sums = new int[n + 1];
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            sums[i] = sums[i - 1] + nums[i - 1];
        }
    }
    
    public int sumRange(int i, int j) {
        return sums[j + 1] - sums[i];
    }
}

/**
 * Your NumArray object will be instantiated and called as such:
 * NumArray obj = new NumArray(nums);
 * int param_1 = obj.sumRange(i,j);
 */

413. 等差数列划分

如果一个数列至少有三个元素，并且任意两个相邻元素之差相同，则称该数列为等差数列。

例如，以下数列为等差数列:

1, 3, 5, 7, 9
7, 7, 7, 7
3, -1, -5, -9

以下数列不是等差数列。

1, 1, 2, 5, 7

数组 A 包含 N 个数，且索引从0开始。数组 A 的一个子数组划分为数组 (P, Q)，P 与 Q 是整数且满足 0<=P

如果满足以下条件，则称子数组(P, Q)为等差数组：

元素 A[P], A[p + 1], …, A[Q - 1], A[Q] 是等差的。并且 P + 1 < Q 。

函数要返回数组 A 中所有为等差数组的子数组个数。

示例:

A = [1, 2, 3, 4]

返回: 3, A 中有三个子等差数组: [1, 2, 3], [2, 3, 4] 以及自身 [1, 2, 3, 4]。

常数内存的动态规划

dp[i] 表示以 A[i] 为结尾的等差递增子区间的个数。

当 A[i] - A[i-1] == A[i-1] - A[i-2]，那么 [A[i-2], A[i-1], A[i]] 构成一个等差递增子区间。而且在以 A[i-1] 为结尾的递增子区间的后面再加上一个 A[i]，一样可以构成新的递增子区间。

dp[2] = 1
    [0, 1, 2]
dp[3] = dp[2] + 1 = 2
    [0, 1, 2, 3], // [0, 1, 2] 之后加一个 3
    [1, 2, 3]     // 新的递增子区间
dp[4] = dp[3] + 1 = 3
    [0, 1, 2, 3, 4], // [0, 1, 2, 3] 之后加一个 4
    [1, 2, 3, 4],    // [1, 2, 3] 之后加一个 4
    [2, 3, 4]        // 新的递增子区间

综上，在 A[i] - A[i-1] == A[i-1] - A[i-2] 时，dp[i] = dp[i-1] + 1。

因为递增子区间不一定以最后一个元素为结尾，可以是任意一个元素结尾，因此需要返回 dp 数组累加的结果。
以前动态规划的标准解法，此题只用记录上次的dp值即可，所以空间复杂度可以将为O(1)

class Solution {
    public int numberOfArithmeticSlices(int[] A) {
        if (A == null && A.length == 0) {
            return 0;
        }
        int n = A.length;
        int temp = 0; //temp保留上次dp值
        int total = 0;
        for (int i = 2; i < n; ++i) {
            if (A[i] - A[i - 1] == A[i - 1] - A[i - 2]) {
                temp = temp + 1;
                total += temp;
            } else { // 中断了，下次置为0
                temp = 0;
            }
        }
        return total;
    }
}

343. 整数拆分

给定一个正整数 n，将其拆分为至少两个正整数的和，并使这些整数的乘积最大化。 返回你可以获得的最大乘积。

示例 1:

输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。
示例 2:

输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。
说明: 你可以假设 n 不小于 2 且不大于 58。

动态规划

状态数组dp[i]表示：数字 i 拆分为至少两个正整数之和的最大乘积。为了方便计算，dp 的长度是 n + 1，值初始化为 1。

显然dp[2]等于 1，外层循环从 3 开始遍历，一直到 n 停止。内层循环 j 从 1 开始遍历，一直到 i 之前停止，它代表着数字 i 可以拆分成 j + (i - j)。但 j * (i - j)不一定是最大乘积，因为i-j不一定大于dp[i - j]（数字i-j拆分成整数之和的最大乘积），这里要选择最大的值作为 dp[i] 的结果。

空间复杂度是 O(N)O(N)，时间复杂度是 O(N^2)O(N
2
)。代码实现如下：

class Solution {
    public int integerBreak(int n) {
        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[1] = dp[2] = 1;
        for (int i = 3; i <= n; ++i) {
            for (int j = 1; j < i; ++j) {
                dp[i] = Math.max(dp[i], Math.max(dp[i - j] * j, j * (i - j)));
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

279. 完全平方数

给定正整数 n，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, …）使得它们的和等于 n。你需要让组成和的完全平方数的个数最少。

示例 1:

输入: n = 12
输出: 3 
解释: 12 = 4 + 4 + 4.
示例 2:

输入: n = 13
输出: 2
解释: 13 = 4 + 9.

BFS

import javafx.util.Pair;
class Solution {
    public int numSquares(int n) {
        if(n == 0)
            return 0;
        LinkedList<Pair<Integer, Integer> > queue = new LinkedList<>();
        queue.addLast(new Pair<>(n, 0));
        boolean[] visited = new boolean[n + 1];
        visited[n] = true;
        while(!queue.isEmpty()){
            Pair<Integer, Integer> front = queue.removeFirst();
            int num = front.getKey();
            int step = front.getValue();
            if(num == 0){
                return step;
            }
            for(int i = 1; num - i * i >= 0; ++i){
                int a = num - i * i;
                if(!visited[a]){
                    if(a == 0)
                        return step + 1;
                    queue.addLast(new Pair(a, step + 1));
                    visited[a] = true;
                }
            }
        }
        return -1;
    }
}

动态规划

标签：动态规划
首先初始化长度为n+1的数组dp，每个位置都为0
如果n为0，则结果为0
对数组进行遍历，下标为i，每次都将当前数字先更新为最大的结果，即dp[i]=i，比如i=4，最坏结果为4=1+1+1+1即为4个数字
动态转移方程为：dp[i] = MIN(dp[i], dp[i - j * j] + 1)，i表示当前数字，jj表示平方数
时间复杂度：O(nsqrt(n))，sqrt为平方根

class Solution {
    public int numSquares(int n) {
        int[] dp = new int[n + 1];
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            dp[i] = i;
            for (int j = 1; i - j * j>= 0; ++j) {
                dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - j * j] + 1);
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

91. 解码方法

一条包含字母 A-Z 的消息通过以下方式进行了编码：

'A' -> 1
'B' -> 2
...
'Z' -> 26
给定一个只包含数字的非空字符串，请计算解码方法的总数。

示例 1:

输入: "12"
输出: 2
解释: 它可以解码为 "AB"（1 2）或者 "L"（12）。
示例 2:

输入: "226"
输出: 3
解释: 它可以解码为 "BZ" (2 26), "VF" (22 6), 或者 "BBF" (2 2 6) 。

动态规划

class Solution {
    public int numDecodings(String s) {
        if (s == null && s.length() == 0) {
            return 0;
        }
        int n = s.length();
        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[0] = 1;
        dp[1] = s.charAt(0) == '0' ? 0 : 1;
        for (int i = 2; i <= n; ++i) {
            int index1 = Integer.valueOf(s.substring(i - 1, i));
            if (index1 != 0) {
                dp[i] += dp[i - 1];
            }
            if (s.charAt(i - 2) == '0') {
                continue;
            }
            int index2 = Integer.valueOf(s.substring(i - 2, i));
            if (index2 <= 26) {
                dp[i] += dp[i - 2];
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

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