整数划分问题

 

整数划分问题是算法中的一个经典命题之一，有关这个问题的讲述在讲解到递归时基本都将涉及。所谓整数划分，是指把一个正整数 n 写成如下形式：

n=m1+m2+...+mi; （其中 mi 为正整数，并且 1 <= mi <= mi-1 <= … <= m1 <= n ），则 {m1,m2,...,mi} 为 n 的一个划分。

如果 {m1,m2,...,mi} 中的最大值不超过 m ，即 max(m1,m2,...,mi)<=m ，则称它属于 n 的一个 m 划分。这里我们记 n 的 m 划分的个数为 f(n,m) 。

例如当 n=4 时，他有 5 个划分， {4},{3,1},{2,2},{2,1,1},{1,1,1,1} 。

注意 4=1+3 和 4=3+1 被认为是同一个划分。

该问题是求出 n 的所有划分个数，即 f(n, n) 。下面我们考虑求 f(n,m) 的方法。

 

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                                                        （一）递归法

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根据 n 和 m 的关系，考虑以下几种情况： 

1.        当 n=1 时，不论 m 的值为多少（ m>0) ，只有一种划分即 {1} ；

2.        当 m=1 时，不论 n 的值为多少，只有一种划分即 n 个 1 ， {1,1,1,...,1} ；

3.        当 n=m 时，根据划分中是否包含 n ，可以分为两种情况：

a)        划分中包含 n 的情况，只有一个即 {n} ；

b)        划分中不包含 n 的情况，这时划分中最大的数字也一定比 n 小，即 n 的所有 (n-1) 划分。

              因此 f(n,n) =1 + f(n,n-1) ；

4.        当 n 时，由于划分中不可能出现负数，因此就相当于 f(n,n) ；

5.        当 n>m 时，根据划分中是否包含最大值 m ，可以分为两种情况：

a)        划分中包含 m 的情况，即 {m, {x1,x2,...xi}}, 其中 {x1,x2,... xi}  的和为 n-m ，可能再次出现 m ，因此是（ n-m ）的 m 划分，因此这种划分个数为 f(n-m, m) ；

b)        划分中不包含 m 的情况，则划分中所有值都比 m 小，即 n 的 (m-1) 划分，个数为 f(n,m-1) ；

              因此 f(n, m) = f(n-m, m)+f(n,m-1) ；

 

综合以上情况，我们可以看出，上面的结论具有递归定义特征，其中 1 和 2 属于回归条件， 3 和 4 属于特殊情况，将会转换为情况 5 。而情况 5 为通用情况，属于递推的方法，其本质主要是通过减小 m 以达到回归条件，从而解决问题。其递推表达式如下：

f(n, m)=      1;                                (n=1 or m=1)                             f(n, n);                         (n                             1+ f(n, m-1);                (n=m)                             f(n-m,m)+f(n,m-1);       (n>m)

       因此我们可以给出求出 f(n, m) 的递归函数代码如下（引用 Copyright Ching-Kuang Shene July/23/1989 的代码）：

unsigned  long   GetPartitionCount( int  n,  int  max) {      if  (n ==  1  || max ==  1 )          return  1 ;      else  if  (n < max)          return  compute(n, n);      else  if  (n == max)          return  1  + GetPartitionCount(n, max- 1 );      else          return  GetPartitionCount(n,max- 1 ) + GetPartitionCount(n-max, max); }

我们可以发现，这个命题的特征和另一个递归命题：

“上台阶”问题（斐波那契数列）

（ http://www.cnblogs.com/hoodlum1980/archive/2007/07/13/817188.html ）

相似，也就是说，由于树的“天然递归性”，使这类问题的解可以通过树来展现，每一个叶子节点的路径是一个解。因此把上面的函数改造一下，让所有划分装配到一个 .NET 类库中的 TreeView 控件，相关代码（ c# ）如下：

///  树的根结点          ///  被划分的整数          ///  一个划分中的最大数          ///  返回划分数，即叶子节点数          private  int  BuildPartitionTree(TreeNode root,  int  n,  int  max)         {              int  count= 0 ;              if ( n== 1 )             {                  //{n} 即 1 个 n                 root.Nodes.Add(n.ToString()); //{n}                  return  1 ;             }              else  if ( max== 1 )             {                  //{1,1,1,…,1}  即 n 个 1                 TreeNode lastNode=root;                  for ( int  j= 0 ;j                 {                     lastNode.Nodes.Add( "1" );                     lastNode=lastNode.LastNode;                 }                  return  1 ;             }              else  if (n             {                  return  BuildPartitionTree(root, n, n);             }              else  if (n==max)             {                 root.Nodes.Add(n.ToString());  //{n}                 count=BuildPartitionTree(root, n, max- 1 );                  return  count+ 1 ;             }              else             {                  // 包含 max 的分割， {max, {n-max}}                 TreeNode node= new  TreeNode(max.ToString());                 root.Nodes.Add(node);                 count += BuildPartitionTree(node, n-max, max);                  // 不包含 max 的分割，即所有 max-1 分割                 count += BuildPartitionTree(root, n, max- 1 );                  return  count;             }         }

如果我们要输出所有解，只需要输出所有叶子节点的路径即可，可以同样用递归函数来输出所有叶子节点（代码中使用了一个 StringBuilder 对象来接收所有叶子节点的路径）：      

private  void  PrintAllLeafPaths(TreeNode node)         {              // 属于叶子节点 ?              if (node.Nodes.Count== 0 )                  this .m_AllPartitions.AppendFormat( "{0}/r/n" , node.FullPath.Replace( '//' , ',' ));              else             {                  foreach (TreeNode child  in  node.Nodes)                 {                      this .PrintAllLeafPaths(child);                 }             }         }

这个小例子的运行效果如下（源代码都在文中，就不提供下载链接）：

       

通过递归思路，我们给出了 n 的划分个数的算法，也把所有划分组装到一棵树中。好，关于递归思路我们就暂时介绍到这里。关于输出所有划分的标准代码在这里省略了，我们有时间再做详细分析。

 

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                                                 （二）母函数法

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下面我们从另一个角度即“母函数”的角度来考虑这个问题。

所谓母函数，即为关于 x 的一个多项式 G （ x ）：

有 G （ x ） = a0 + a1*x + a2*x^2 + a3*x^3 + ...

则我们称 G （ x ）为序列（ a0 ， a1 ， a2 ， ... ）的母函数。关于母函数的思路我们不做更多分析。

我们从整数划分考虑，假设 n 的某个划分中， 1 的出现个数记为 a1 ， 2 的个数记为 a2 ， ..., i 的个数记为 ai ，显然： ak<=n/k; (0<= k <=n)

因此 n 的划分数 f(n,n) ，也就是从 1 到 n 这 n 个数字中抽取这样的组合，每个数字理论上可以无限重复出现，即个数随意，使他们的总和为 n 。显然，数字 i 可以有如下可能，出现 0 次（即不出现）， 1 次， 2 次， ..., k 次，等等。把数字 i 用 (x^i) 表示，出现 k 次的数字 i 用 x^(i*k) 表示， 不出现用 1 表示。例如数字 2 用 x^2 表示， 2 个 2 用 x^4 表示， 3 个 2 用 x^6 表示， k 个 2 用 x^2k 表示。

则对于从 1 到 N 的所有可能组合结果我们可以表示为：

G(x) = (1+x+x^2+x^3+...+x^n) (1+x^2+x^4+...) (1+x^3+x^6+...) ... (1+x^n)

              = g(x,1) g(x,2) g(x,3) ... g(x, n)

              = a0 + a1* x + a2* x^2 + ... + an* x^n + ... ;  （展开式）

上面的表达式中，每一个括号内的多项式代表了数字 i 的参与到划分中的所有可能情况。因此该多项式展开后，由于 x^a * x^b=x^(a+b) ，因此 x^i 就代表了 i 的划分，展开后 (x^i) 项的系数也就是 i 的所有划分的个数，即 f(n,n)=an （上式中 g （ x ， i ）表示数字 i 的所有可能出现情况）。

由此我们找到了关于整数划分的母函数 G （ x ）；剩下的问题是，我们需要求出 G （ x ）的展开后的所有系数。

为此我们首先要做多项式乘法，对于我们来说并不困难。我们把一个关于 x 的一元多项式用一个整数数组 a[] 表示， a[i] 代表 x^i 的系数，即：

g(x) = a[0] + a[1]x + a[2]x^2 + ... + a[n]x^n;

则关于多项式乘法的代码如下，其中数组 a 和数组 b 表示两个要相乘的多项式，结果存储到数组 c ：

#define  N 130 unsigned  long  a[N]; /* 多项式 a 的系数数组 */ unsigned  long  b[N]; /* 多项式 b 的系数数组 */ unsigned  long  c[N]; /* 存储多项式 a*b 的结果 */ /* 两个多项式进行乘法，系数分别在 a 和 b 中，结果保存到 c  ，项最大次数到 N */ /* 注意这里我们只需要计算到前 N 项就够了。 */ void  Poly() {      int  i,j;     memset(c, 0 , sizeof (c));      for (i= 0 ; i              for (j= 0 ; j /*y ：  确保 i+j 不会越界 */                   c[i+j] += a[i]*b[j]; }

         下面我们求出 G （ x ）的展开结果， G （ x ）是 n 个多项式连乘的结果：

/* 计算出前 N 项系数！即 g(x,1) g(x,2)... g(x,n) 的展开结果 */ void  Init() {      int  i,k;     memset(a, 0 , sizeof (a));     memset(c, 0 , sizeof (c));      for (i= 0 ;i 1 ;  /* 第一个多项式： g(x, 1) = x^0 + x^1 + x^2 + x^3 + … */      for (k= 2 ;k     {         memset(b, 0 , sizeof (b));          for (i= 0 ;i 1 ; /* 第 k 个多项式： g(x, k) = x^0 + x^(k) + x^(2k) + x^(3k) +…*/         Poly();  /*  多项式乘法： c= a*b */         memcpy(a,c, sizeof (c));  /* 把相乘的结果从 c 复制到 a 中： c=a; */     } }

通过以上的代码，我们就计算出了 G （ x ）的展开后的结果，保存到数组 c 中。此时有： f(n,n)=c[n]; 剩下的工作只是把相应的数组元素输出即可。

问题到了这里已经解决完毕。但我们发现，针对该问题， g(x,k) 是一个比较特殊的多项式，特点是只有 k 的整数倍的索引位置有项，而其他位置都为 0 ，具有项 “ 稀疏 ” 的特点，并且项次分布均匀（次数跨度为 k ）。这样我们就可以考虑在计算多项式乘法时，可以减少一些循环。因此可以对 Poly 函数做这样的一个改进，即把 k 作为参数传递给 Poly ：

/* 两个多项式进行乘法，系数分别在 a 和 b 中，结果保存到 c  ，项最大次数到 N */ /* 改进后，多项式 a 乘以一个有特殊规律的多项式 b ，即 b 中只含有 x^(k*i) 项， i=0,1,2,…*/ /* 如果 b 没有规律，只需要把 k 设为 1 ，即与原来函数等效 */ void  Poly2( int  k)  /* 参数 k 的含义：表示 b 中只有 b[k*i] 不为 0 ！ */ {      int  i,j;     memset(c, 0 , sizeof (c));      for (i= 0 ; i              for (j= 0 ; j                   c[i+j] += a[i]*b[j]; }

这样，原有的函数可以认为是 k=1 的情况（即多项式 b 不具有上诉规律）。相应的，在上面的 Init 函数中的调用改为 Poly2(k) 即可。

 

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参考资料：

（ 1 ）关于 “ 递归 ” 部分的代码，参考了 Ching-Kuang Shene ， July/23/1989 的代码；

（ 2 ）关于 “ 母函数 ” 部分，参考了《 Acm 程序设计》（刘春英）（ PPT 文档）；

（ 3 ） “ 母函数 ” 方法的 Init 和 Poly 的代码，参考了某位教师的代码   : ymc 2008/09/25 ， 其中多项式乘法的改进是我提出的建议。

引文来源  整数划分问题 - hoodlum1980 ( 發發 ) 的技术博客 - 博客园