算法设计与分析——prim算法

前言

在上一篇文章中，我们聊了聊KMP算法，一个极其高效但又非常难以理解（个人看来）的算法，如果有朋友想要深度讨论，欢迎私信。
本篇我们来聊聊prim算法，我最早接触prim算法已经记不清是数据结构课中还是离散数学课中了，但即便科目不同，prim算法还是那个prim算法。
prim算法是一种用于在连通图中获取最小生成树的算法，同样用于获取最小生成树的算法还有Kruskal算法（大家有兴趣同样可以了解了解，但其实二者是比较相似的），prim算法属于贪心算法的一种，至于为什么，或许在分析其过程的时候大家就明白了。
要理解prim算法，大家首先要理解好什么是连通图？什么是最小生成树？这里我们来简单介绍一下，因为这不是我们本次的重点（如果已经有基础的朋友，可以适当跳过）。

• 什么是连通图？，首先理解什么是图？（这里面的学问其实有点大，所以我说咱们就是简单介绍下哈，本篇文章还是对有基础的朋友较友好，因为对于有基础的朋友，我可能是在废话哈哈哈）简单来说，平面内许多点通过一些路径相互连接（不一定要全部连接），就构成了一个图，而根据这些点之间的路径是否有方向，又分为了无向图和有向图。如下图，分别是一种无向图和有向图。
  
  那么？什么是连通图呢？简单来说（只能简单来说了，说多了可以另起一篇文章。。。），就是图中的点通过图中的某些路径（带方向的就必须按照方向来）可以抵达任意一个点。最为简单的模型就是一个地区的许多村落之间的通信，如果每个村庄之间都可以达成通信，就是连通的。

• 最小生成树是什么呢？ 连通图中，每条路径都存在一个权值（理解为距离/成本也行吧，但其实不是这么理解的）。从该连通图出发，寻找一个路径数最少，但每个点之间都可达，就是一个生成树了（专业术语是连通无环子图）。生成树不止一个，而所以生成树中权值之和最小的生成树称为最小生成树。

以上是对最小生成树的简单介绍，如果大家想详细了解一下，可查询资料，这些都不是我们本次的重点。如下给出《算法设计与分析基础》中生成树和最小生成树的定义。

如下为一些例子：

一、算法思想分析

在简单讲解最小生成树的概念后，我们来聊聊prim算法的思想。前面提到过，prim算法是贪心算法的一种，而贪心算法，讲究的就是要极力满足当前最优，这个当前最优正是prim算法的核心思想。
首先，prim算法中存在两个存储空间， 一个用来存放已加入最小生成树的顶点，而另外一个则用来存放还未加入最小生成树中的顶点。 当连通图中所有顶点已放入用于最小生成树的空间中，那么我们最小生成树算法结束！

• 算法开始，起始顶点可随机找或指定一个。将起始顶点先放入已选顶点集合中。
• 在未放入已选顶点集合中查找一条到已选顶点集合中所有点最短（或者是权值最小，这里看自己理解了）的路径（说是一条线或许更合适吧）。刚开始的话，我们已选顶点集合只有一个点！而之后我们会将未加入的顶点一个一个加入已选顶点集合，所以这里的条件必须是已选顶点集合中所有点。显然，在我们找到的这条最短（权值最小）路径的两端的顶点，一个肯定属于还未加入最小生成树中的顶点，另一个肯定属于已加入最小生成树的顶点。将还未加入已选顶点集合的那个点，加入已选顶点集合，本轮任务完成。如果需要路径的，可以将路径记录保存下来。
• 重复第二步，直到所有顶点已加入已选顶点集合，那么，我们的最小生成树就完成了。如果需要计算最小生成树的权值之和，在每一次找到最短路径的时候求一次和即可，需要具体路径的进行标记即可。

接下来，我们举个栗子来做个示范：






该例后续代码将会用到，大家可以自行看看该例。

二、算法效率分析

prim算法的具体效率，是与图的顶点和边数都是有关的。《算法设计与分析基础》中是这么分析的：

以上是一种高级的分析，我们就简单来点吧。
假设总共又n个顶点，那么我肯定有n次比较过程！而在第k次比较过程中，又有n-k个点和另外n-k个顶点相互比较，那么总结起来，那么算法复杂度几乎再n的立方级别。或许有朋友问了，这么算起来，好像也不是很高效哦？n³级别复杂度的确不是很高，但其实prim算法真正效率是介于n²和n³之间的，因为我们如上的分析是一种最坏的情况，就是每个点之间都存在一条路径。
再者，相比于穷举法（也就是蛮力法）来查找最小生成树，prim算法已是大大提升了。《算法设计与分析基础》中这样写到：

三、算法代码

C语言代码

这里我们图的表示用邻接矩阵来表示，具体请看代码极其注释：

/*最小生成树 prim算法 从一个连通图中获取一个最小生成树*/
/*
输入要求：输入一个连通图 存储模式：邻接矩阵表示 0表示不可达  点依次默认命名为a,b,c,d,e,f,g...
例如：n*n数组
6
0 1 0 0 6 5
1 0 1 0 0 4
0 1 0 6 0 4
0 0 6 0 8 5
6 0 0 8 0 2
5 4 4 5 2 0
即为一种输入 实际上为上课讲解时的连通图表示
输出要求： n-1长度数组 包含n-1条路径 ()表示的为m号点到k号点的那条路径 
(1,2) (2,3) (2,6) (6,5) (6,4)
最小生成树权值之和：1+1+4+5+2=13
*/
#include
#define MAXN 1000
/*二维数组存储 采用邻阶矩阵数据*/
int input[MAXN][MAXN];
int sign[MAXN]= {0}; // 标记sign数组 初始化全为0 ，1表示已经加入已选列表
int prime(int n) {
	int sum=0; // 最小生成树权值之和 初始值为0
	/* 默认从第一个点开始 */
	sign[1]=1;
	int counter=1; // 计算当前状态已加入最小生成树队列的个数
	
	int flagX=-1,flagY=-1,minNodeValue=1000000;
	while(counter!=n) {
		flagX=-1,flagY=-1,minNodeValue=1000000; // 每一次都要初始化 
		/* 每一次循环都是一次贪心 当前局势的一种最优解 */
		for(int i=1; i<=n; i++) {
			if(sign[i]==0) continue; // 如果当前为加入队列 直接下一次循环 其实这是一个笨方法
			for(int j=1; j<=n; j++) {
				// 在查找下一个连接点时 发现这个连接点已经在里面了（或者为0，即不可达） 我们直接跳过 我能说这是一个笨方法么？但似乎只能这样
				if(sign[j]==1||input[i][j]==0) continue;
				if(input[i][j]<minNodeValue){
					// 更小的一个进行标记
					flagX=i;
					flagY=j;
					minNodeValue=input[i][j]; 
				}
			}
		}
		
		/* 一轮查找后 */
			sign[flagY]=1; // 谁该标1 要清楚
			counter++; // 找到加一 
			sum+=input[flagX][flagY]; // 这里其实不用担心指针越界 如果是连通图 在一轮查找下来 肯定能找到一个最小的 
			printf(" (%d,%d) ",flagX,flagY); // 其实我们都知道 flagX flagY 的位置 在这里顺序不重要 
	}
	return sum;
}
int main() {
	/*作为输入的主函数*/
	int n;
	printf("请输入邻接矩阵的维度n："); 
	scanf("%d",&n);
	printf("邻接矩阵：\n");
	for(int i=1; i<=n; i++) {
		for(int j=1; j<=n; j++) {
			scanf("%d",&input[i][j]);
		}
	}
	/*调用函数*/
	int sum = prime(n);
	printf("\n最小生成树权值之和：sum=%d\n",sum);
}

代码中有部分存在取巧，如果大家有任何建议都可私信或留言。

后记

经过一番分析，prim算法的效率似乎是接近n³的，可能偏离了大家的预期。但是一个算法的高效，不是在于它的算法复杂度是多少，而是在于这个算法和解决同样问题的其他算法，相比之下，这个算法是否高效。
简而言之，高效算法是相对的，并不是绝对的。如果在解决最小生成树问题有其他算法比prim算法更为高效，那么那个算法也可以称之为高效算法。
以上只是我的理解，如果大家有其他意见和想法，欢迎留言或私信。