Manacher's algorithm求最长子回文串算法解析

Manacher’s algorithm 求最长子回文串

用该算法求解最长回文子串，时间和空间复杂度都是O(n)。
这里有篇英文解释，可供参考。算法不太好理解，所以在理解的时候记录下来，怕遗忘。

https://articles.leetcode.com/longest-palindromic-substring-part-ii/

算法思想

1. 准备

1. 首先，对回文子串做处理，每个字符之间加入一个无关字符（“#“），如abcd编程#a#b#c#d#，这样做好处是，总能把回文变成奇数个，这样只用考虑由中心向两边拓展的回文。

2. 其次，定义需要用到的数组或变量。

   • S：处理过后的字符串，可以理解成char数组
   • P：和s对应长度的数组，数组第i位记录着S第i位为中心，除去#之后的最大的回文的长度（也就是说求出来的长度要去除#的数量）。

   所以我们要做的就变成了将P数组中的每个值(除去S对应下表为“#”的位置)都求解出来。

3. 对于P数组，我们可以先将S对应下表为“#”的位置全部置为0（因为我们不需要这些数据，也不需要计算它），同时我们总可以得到P[1] = 1。

   而接下来的步骤就是根据已经知道的值来计算后面未知的值。这个计算基于这样显而易见的一个规律：一个回文串，在中心位置的左半部分边如果是一个子回文串，那么对称的右半部分也会是一个子回文串。

   应用在长度上就是：一个回文串，在中心位置的左半部分边如果是一个子回文串且长度为l，那么对称的右半部分也会是一个子回文串，长度也是l

2. 算法核心

1. 方便理解，再定义一些变量

   • i：我们目前要求的P[i]的值的下标
   • center：包含i所在位置的最大的回文子串的中心所在位置的下标
   • mirror：i关于center的对称点。这个点的P[mirror]已经被求解过

2. 那么按照我们之前所说的规律，P[i] = P[mirror]。

       0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6
   T = # b # a # b # c # b # a # b # c # b # a # c # c # b #
   P = 0 1 0 3 0 1 0 7 0 ? 0 ...
   i = 9
   center = 7
   mirror = 5

   但是发现这个结论有问题，并不是都成立。

       0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6
   T = # b # a # b # c # b # a # b # c # b # a # c # c # b # 
   P = 0 1 0 3 0 1 0 7 0 1 0 ? ...
   i = 11
   center = 7
   mirror = 3

   这里展示了一种不成立的情况：按照之前的假设，P[11] = P[3] = 3，但是事实上P[11] = 9，回文串为abcbabcba.

   而不成立的时候，都是如下情况：

   • 以mirror为中心的最大回文字符串 超过了 以center为中心的最大回文字符串 的控制范围。
   • 换句话说，就是以mirror为中心的最大回文字符串的最左端 超过了 以center为中心的最大回文字符串的最左端。
   • 再精确一点，center-P[center] > mirror - P[mirror]。注意这里的减的是P[mirror] P[center]而不是 P[mirror]/2 P[center]/2，因为字符串被填充过#，而P记录的长度是不包括#的。

3. 基于以上讨论。最终我们只要分为两种情况

   1. 若center-P[center] < mirror - P[mirror]，不用计算，P[i] = P[mirror]
   2. 若相反，只要按照回文串的判断，一个个比较字符是否相等，得到回文最大的长度。