算法第八章课后练习 8.10

算法第八章课后练习 8.10

题目

8.10 利用推广的方法证明NP-完全性。对以下每个问题，请通过证明它是本章某个NP-完全问题的推广，说明它是完全的。

(a) 子图同构：给定两个作为输入的无向图G和H，判断G是否为H的一个子图（即删除H中的某些顶点或边后，所得的新图最多只需再修改某些顶点的名称，即可与G相同），且如果是，返回由V（G）到V（H）的相关映射。

(b) 最长路径：给定图G和整数g，求G中一条长为g的简单路径。

(c) 最大SAT： 给定一CNF公式和整数g，求满足其中至少g个子句的真赋值。

(d) 稠密子图：给定一个图和两个整数a和b，求G中的a个顶点，使得它们之间最少有b条边。

(e) 稀疏子图：给定一个图和两个整数a和b，求G中的a个顶点，使得它们之间最多有b条边。

(f) 集和覆盖。（该问题衍生了两个著名的NP-完全问题。）

(g) 可靠网络：给定两个n*n矩阵，一个距离矩阵 dij， 一个连接需求矩阵 rij 以及预算b。我们要求一个图G=（{1,2,3,……,n}, E）使得：（1）其中所有边的总代价不超过b；（2）在任意两个不同的顶点i和j之间，存在rij条顶点互不相交的路径。（提示：假设所有dij都为1或2，b=n，所有的rij=2. 想一下这会是哪个著名的NP-完全问题？）

解答

a. 令图G为一个环，环上的顶点数等于图H的顶点数。那么若G是H的同构子图，则说明H存在Rudrata回路。于是知Rudrata回路事实上是子图同构问题的一个特例。

b. 如果令g=|V|-1，得到的就是一条Rudrata路径。

c. 令g为子句的总数，即构成了SAT问题。

d. 令b=a(a-1)/2, 此时这个a个顶点两两相连，于是成了一个最大团问题。

e. 令b=0，即成了最大独立集问题。

f. 显然是最小顶点覆盖的一个推广。

g. Hint中所描述的特例即是一个TSP。