51Nod 1225 余数之和(除法分块+等差数列)

                             1225 余数之和

 

F(n) = (n % 1) + (n % 2) + (n % 3) + ...... (n % n)。其中%表示Mod，也就是余数。 

例如F(6) = 6 % 1 + 6 % 2 + 6 % 3 + 6 % 4 + 6 % 5 + 6 % 6 = 0 + 0 + 0 + 2 + 1 + 0 = 3。

给出n，计算F(n), 由于结果很大，输出Mod 1000000007的结果即可。

 

Input

输入1个数N(2 <= N <= 10^12)。

Output

输出F(n) Mod 1000000007的结果。

Input示例

6

Output示例

3

 

我们知道 

F(n)=n%1+n%2+n%3+n%4.......+n%n 

    =n-(n/1*1)+n-(n/2*2)+n-(n/3*3)+n-(n/4*4) ........+n-(n/n*n) (ps:这里的除法都是整数除法)

    =n*n-(n/1*1+n/2+2+n/3*3........+n/n*n) 

由于 n/i 有 sqrt(n) 个不同的值

对与 n/i 相同 就构成了如下的等差序列

    (n/i)*(i+(i+1)+(i+2)+(i+3)....+(i+m))

以上等式中的 n/i n/(i+1) n/(i+2)  ....n/(i+m) 的值都相同 我们就可以使用等差数列求和公式 

N*(A+B)/2  N为元素个数 A,B分别为数列的首项和最后一项 

这个/2 相当于求在%意义下2的逆元 

 

注意开longlong 

注意取模 这个取模有毒！我在取模上WA了15次！！

 

 1 #include 
 2 #include 
 3 #include 
 4 
 5 typedef long long LL;
 6 
 7 const int mod=1000000007;
 8 const int M=5e8+4;
 9 
10 LL n,ans;
11 
12 int hh() {
13     std::cin>>n;
14     ans=n%mod*(n%mod)%mod;
15     for(LL t,r,i=1;i<=n;++i) {
16         t=n/i;
17         r=n/t;
18         ans=ans-((r-i+1)%mod*((r+i)%mod))%mod*M%mod*t%mod;
19         while(ans<0) ans+=mod;
20         i=r;
21     }
22     std::cout<<ans;
23     return 0;
24 }
25 
26 int sb=hh();
27 int main(int argc,char**argv) {;}

代码