用Python解决高数所有计算题--sympy求解极限、积分、微分、二元一次方程等

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用Python解决高数所有计算题--sympy求解极限、积分、微分、二元一次方程等_第1张图片


sympy是什么?


Sympy是一个数学符号库(sym代表了symbol,符号),包括了积分,微分方程等各种数学运算方法,为python提供了强大的数学运算支持。对于图像来说,虽然都是做离散的计算,操作最多的还是numpy里的数组,但实际上,这个库包含了积分微分,三角等最基本的数学运算,可以说是工科最基本的,用起来媲美matlab。
--摘自网络


什么是基于符号的计算(符号求解)?


在高数学习中,甚至在工作中,都会面临计算基本微积分的问题。可能你会想,只要写个程序,运用极限法思想,全部都用双精度浮点数就能八九不离十的解出来。但是请看下面:

>>> import sympy, math >>> math.sqrt(2) ** 2 2.0000000000000004 >>> sympy.sqrt(2) ** 2 2

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为什么用sympy的计算结果貌似要比math单纯浮点计算后误差小很多,或者说基本没有?

>>> x = sympy.Symbol('x') >>> sympy.sqrt(x) ** 2 x >>> sympy.sqrt(8) 2*sqrt(2)

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sympy安装

sudo pip install sympy 或者 sudo pip3 install sympy 如果你用anaconda则 conda install sympy

Let's get started!


首先我们从sympy包中导入所有内建函数

from __future__ import division #如果你用的python2,请加上上面这句话导入python3的除法 #将Python2的除法操作符“/”从整数除法改为普通除法 from sympy import * x = Symbol('x') y = Symbol('y') z = Symbol('z') a = Symbol('a') b = Symbol('b') c = Symbol('c') # 等同于 x, y, z, a, b, c = symbols('x, y, z, a, b, c') # 建议用下面这种表达,因为一个一个导入符号实在是太麻烦了。 f = (2/3)*x**2 + (1/3)*x**2 + x + x + 1

simplify表达式化简

f.simplify() print(f) 结果: x**2 + 2*x + 1

对,就是这么简单。


expand表达式展开

>>> f = (x+1)**2 >>> print(expand(f)) x**2 + 2*x + 1

solve方程自动求解

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f1 = 2*x - y + z - 10 f2 = 3*x + 2*y - z - 16 f3 = x + 6*y - z - 28 print(solve([f1, f2, f3])) 结果: {x: 46/11, z: 74/11, y: 56/11}

limit求极限


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f = (x+1)**2 + 1 print(limit(f, x, a-1)) 结果:a**2 + 1

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>>> f = sin(x)/x >>> print(limit(f, x, 0)) # 输入三个值,函数,自变量,自变量取值 1

从负方向逼近,dir可以取'+' 或者 '-' >>> print(limit(f, x, 0, dir='-')) 1

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f = cos(x) dx = Symbol('dx') >>> print(limit(f, x, a)) # 这个的意思是函数f,自变量x用a代入 cos(a) >>> print(limit(f, x, a-dx))# f的自变量x用a-dx代入 cos(a - dx) >>> print(limit((limit(f,x,a)-limit(f,x,a-dx))/dx, dx, 0)) -sin(a) #这就是答案

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>>> n = Symbol('n') >>> print(limit(((n+3)/(n+2))**n, n, oo)) E

无穷用oo表示,负无穷用-oo


diff求导


diff(你的函数,自变量,求导的次数)

>>> diff(sin(2*x), x) 2*cos(2*x) >>> sin(2*x).diff(x) 2*cos(2*x) >>> diff(sin(2*x), x, 2) -4*sin(2*x) >>> diff(sin(2*x), x, 3) -8*cos(2*x) >>> diff(sin(x*y), x,2,y,3) x*(x**2*y**2*cos(x*y) + 6*x*y*sin(x*y) - 6*cos(x*y))

dsolve()计算微分方程

>>> x = symbols("x", real=True) # 定义符号x 为实数 >>>eq1 = dsolve(f(x).diff(x) + f(x)**2 + f(x), f(x)) >>>eq1 f(x) == -C1/(C1 - exp(x))

如果设置hint参数为“best”,就能得到更简单的显函数表达式

>>> eq2 = dsolve(f(x).diff(x) + f(x)**2 + f(x), f(x), hint="best") >>> eq2 f(x) == -C1/(C1 - exp(x))

intergrate积分计算


1. 定积分

>>> f = x**2 + 1 >>> integrate(f, (x, -1, 1)) 8/3

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>>> integrate(exp(x), (x, -oo, 0)) 1

2. 不定积分

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>>> f = 3*x**2 + 1 >>> integrate(f, x) x**3 + x

3. 双重定积分

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>>> f = (4/3)*x + 2*y >>> integrate(f, (x, 0, 1), (y, -3, 4)) 21/2

4. 双重不定积分

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>>> f = (4/3)*x + 2*y >>> integrate(f, (x, 0, 1), (y, -x, x)) x

有一份很详细的文档,内容完备,如果你想深入了解,不妨下载下来:

链接:https://pan.baidu.com/s/1wKmK2h9GCGDWUrntkQSZJQ  密码:rb4r

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