luogu1192：台阶问题：递推+优化

题目链接：有一个简化版本的题目：noi题库3525台阶问题
本文主要介绍了：
思路1 递推的朴素思维O(n*k)的相应解法和代码；
思路2 递推的优化O(n)的相应分析和代码；
另外还有记忆化递归，还有拓展数据之后的矩阵乘法，有兴趣的同学可以自行前往。

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题目大意：
1 在走楼梯的时候，每次可以上1-k级，从地面开始走到第n级，有多少种方案数。

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解题思路1：朴素直观：O（n*k）
1 当前如果是第 x 级，可以从 x-1，x-2，x-3....x-k，这 k 级楼梯走上来，所以，只要双重循环枚举就可以了；
2 要注意细节就是楼梯是从0开始的，没有负数；
3 记得取模；
上代码：

//luogu1192:台阶问题：朴素的递推 
//时间复杂度：n*k 

#include
#define mo 100003
using namespace std;
int n,k,ans=0;
int f[100005];

int main()
{
	scanf("%d %d",&n,&k);
	memset(f,0,sizeof(f));
	f[0]=f[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		for(int j=max(0,i-k);j

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解题思路2：观察分析与线性优化：O（n）
1 观察以下三句话：
当前是第 x     级，可以从                x-1，x-2，x-3....x-k+2，x-k+1，x-k，这 k 级楼梯走上来；
当前是第 x +1级，可以从           x,  x-1，x-2，x-3....x-k+2，x-k+1，        这 k 级楼梯走上来；
当前是第 x +2级，可以从 x+1，x，x-1，x-2，x-3....x-k+2，                    这 k 级楼梯走上来；
2 是否发现了相邻两次很多运算是有交集的呢？
3 然后可以得出以下简单的推算过程：

式子1：a[x]    =        a[x-1]+a[x-2]+...+a[x-k+1]+a[x-k] ;
式子2：a[x+1]=a[x]+a[x-1]+a[x-2]+...+a[x-k+1] ;

由式子1和式子2可以得出式子3：a[x+1]=a[x]*2-a[x-k] ;

将式子3下降一级，可推算出: a[x]=a[x-1]*2-a[x-k-1] （当x>k的时候成立）

4 当x(x-1)的台阶都可以上到x，所以：

式子1：a[x]    =        a[x-1]+a[x-2]+...+a[0] ;
式子2：a[x+1]=a[x]+a[x-1]+a[x-2]+...+a[0] ;

由式子1和式子2可以得出式子3：a[x+1]=a[x]*2;

将式子3下降一级，可推算出:a[x]=a[x-1]*2 （当x<=k的时候成立）

5 因为运算过程有负数，需要最后要进行负数排除；

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上代码：

//luogu1192台阶问题：递推+优化
//时间复杂度O(n) 
//通过观察，将多次类似的前k项累加进行降维优化
//因为有减法，注意最后的排除负数的操作
 
#include
#define mo 100003
using namespace std;
int n,k,ans=0;
int a[100005];

int main()
{
	scanf("%d %d",&n,&k);
	a[0]=a[1]=1;
	
	for(int i=2;i<=k;i++)
	{
		a[i]=a[i-1]*2%mo;
	}
	for(int i=k+1;i<=n;i++)
	{
		a[i]=a[i-1]*2-a[i-k-1];
		a[i]%=mo;
	}
	
	printf("%d",(a[n]+mo)%mo);//排除负数 
	
	return 0;
}