数据结构学习笔记(12.递归的应用之八皇后回溯算法)

本节知识点：

1.递归与回溯：

   a.回溯算法的基本思想：从问题的某一种状态出发，搜索可以到达的所有状态。当某个状态到达后，可向前回退，并继续搜索其他可达状态。当所有状态都到达后，回溯算法结束！

   b. 对于回溯算法，在前面KMP匹配中就利用了这个思想，只不过当时KMP中定义了一个node数组(起到了一个地图的作用，记录了每种回溯情况的可能)。而这节中，是利用函数的活动对象保存回溯算法的状态数据，因此可以利用递归完成回溯算法！

2.八皇后问题：

   a.问题背景：国际象棋是一个8*8的矩阵，在棋盘中同时放下8个皇后，且互相不攻击的情况叫八皇后问题

   b.如图，说明八皇后问题中的回溯算法：

      

注意：其实就是不断的通过递归函数，去往棋盘中尝试放皇后，成功就继续递归(即继续放皇后)，失败就跳出递归函数，回溯到上层递归函数中，上层递归函数中保存着上一个皇后的位置！！！这就是八皇后中，回溯的概念！

    c. 八皇后的算法思路：

       第一、为了更加方便我们表示棋盘，我们使用一个10*10的二维数组来表示8*8的棋盘加棋盘边框。

char board[10][10];

       第二、初始化棋盘，把棋盘边框标记为'#'，把棋盘中的位置都标记为‘ 空格 ’

void init()
{
	int i = 0;
    int j = 0;
    
    for(i=0; i

       第三、定义一个棋盘的打印函数display()，方便测试

void display()
{
    int i = 0;
    int j = 1;
    
    for(i=0; i

      第四、 我们定义一个检查的函数check()，来判断这个位置是否可以放皇后，对于检查，我们检查三个方向，左上(-1,-1) 、 右上(-1,1)  、正上(-1,0)   对于横排我们是不检测的，因为我们每一排就放一个皇后，皇后用' * '来表示！

typedef struct _tag_pos //定义一个数据结构来充当方向 
{
	int i;
	int j;
}Pos;
/*检测三个方向  左上  右上  正上   横排是不检测的 因为一排只放一个*/ 
static Pos pos[3] = {{-1,-1},{-1,1},{-1,0}};

int check(int i, int j)
{
	int p = 0; 
	int ret = 1;
	for(p = 0; p < 3; p++) //检测三个方向 
	{
		int ni = i;
		int nj = j;
		
		while(ret && (board[ni][nj] != '#'))//判断没有到达棋盘边界 
		{
			ni = ni + pos[p].i;
			nj = nj + pos[p].j;
			
			ret = ret && (board[ni][nj] != '*');//判断这个方向没有放过皇后 
		}
	} 
	return ret; //可以放皇后返回1  不可返回0 
}

      第五、 是八皇后算法的核心，就是放皇后的函数find()，这个函数是这样的！先从第一行开始，进行对列数j的for循环，在for循环中判断(i,j)是否可以放皇后，一旦可以放皇后，就放置一个皇后，然后find(i+1)，进入第二行(即第二层递归)。继续做同样的判断，这个递归函数有两个出口，同理，就有两种情况结束递归，一种是，i超过了第八行，也就是说，皇后全部放置完全，所以应该display()打印！另一种是，for循环结束，依然没有check()成功，说明前面有皇后放错了！导致这一行不能放皇后！应该进行回溯！！！所以结束这个错误的递归，返回到上一层递归，清除上层递归中放错的皇后   board[i][j] = ' ';  继续进行上一行的for循环！！！这里需要补充的是，即使i超过了第八行，皇后放置完全了，函数依然也会返回到上一行，去进行上一行的for循环，擦除皇后位置，尝试寻找新八皇后的情况！！！

void find(int i)
{
	int j = 0;
	if(i > N) //判断是否已经超过了第八行 
	{
		coust++; //计算八皇后情况的个数 
		display(); 
		//getchar();
	}
	else
	{
		for(j = 1; j <= N; j++) //判断一行 是否有匹配的位置 
		{
			if(check(i,j))
			{
				board[i][j] = '*'; //放置皇后 
				find(i+1);
				board[i][j] = ' '; //清除放错的皇后 
			}
		}
	}
} 

注意：之所以说，八皇后中利用递归来进行回溯，就是因为当递归结束的时候，会返回到上一层放置皇后的位置(即栈空间中，保存了上行皇后i，j的情况)
看着上面的动态想象下，当有时候，出现过的皇后又消失了，就是因为for循环结束了，还没有check成功，导致递归结束，返回到上层递归，并且擦除上层皇后的位置，并且继续for循环，如果这层for中check依然不成功，继续回溯，这个消失的过程就是回溯过程！与动图不同的是，我们的程序，不会在找完一种情况后就结束！即使成功匹配，程序也会向上层回溯，去寻找其它的情况，直到第一行for循环结束(即 i=1 的时候)，程序才会停止！

本节代码：

八皇后问题的完整代码：

#include 

#define N 8

static char board[N+2][N+2];
static int coust = 0; //记录八皇后个数 
typedef struct _tag_pos //定义一个数据结构来充当方向 
{
	int i;
	int j;
}Pos;
/*检测三个方向  左上  右上  正上   横排是不检测的 因为一排只放一个*/ 
static Pos pos[3] = {{-1,-1},{-1,1},{-1,0}};

 
void init()
{
	int i = 0;
    int j = 0;
    
    for(i=0; i N) //判断是否已经超过了第八行 
	{
		coust++; //计算八皇后情况的个数 
		display(); 
		//getchar(); //起到断点的作用 
	}
	else
	{
		for(j = 1; j <= N; j++) //判断一行 是否有匹配的位置 
		{
			if(check(i,j))
			{
				board[i][j] = '*'; //放置皇后 
				find(i+1);
				board[i][j] = ' '; //清除放错的皇后 
			}
		}
	}
} 
int main()
{
	init();
	//display();
	find(1); 
	printf("coust is %d \n",coust);
	return 0;
} 

注意：八皇后问题，一共有92种情况！

课后思考：

 本节遗留了两个问题没有解决：

 1.对于全排列中有重复字母的情况，本节代码是解决不了的，会出现重复的情况，但是我觉得解决这个问题，就不应该使用递归思想去处理全排列了！！！

 2.对于回溯算法，可以在迷宫寻找出口的程序中得到很好的应用，值得思考下！