筛素数

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一、一般筛素数（埃拉托斯特尼筛法）

二、线性筛素数（欧拉筛法）

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一、一般筛素数（埃拉托斯特尼筛法）

此筛选法的时间复杂度是O(nloglogn)

int vis[maxn];
memset(vis,1,sizeof(vis));
void isprime()
{
	int prime[maxn],cnt=0;
    for(int i=2;i<=sqrt(N);i++)
    {
        if(vis[i])
        {
        	prime[cnt++]=i;
            for(int j=i*i;j<=N;j+=i)
                vis[j]=0;//i是素数，则下一个起点是i*i,把后面的所有的i*i+2*n*i筛掉
        }
    }
}
 

这种方法比较好理解，初始时，假设全部都是素数，当找到一个素数时，显然这个素数乘上另外一个数之后都是合数(注意上面的 i*i ,  比 i*2 要快点 )，把这些合数都筛掉。

但仔细分析能发现，这种方法会造成重复筛除合数，影响效率。比如10，在i=2的时候，k=2*15筛了一次；在i=5，k=5*6 的时候又筛了一次。所以，也就有了快速线性筛法。

 

二、线性筛素数（欧拉筛法）

线性筛，复杂度为O(n)。与埃氏筛相比，不会对已经被标记过的合数再进行重复标记，故效率更高。欧拉筛将合数分解为 (最小质因数 * 一个合数) 的形式，通过最小质因数来判断当前合数是否已经被标记过。

int vis[maxn];
memset(vis,0,sizeof(vis));
void isprime()
{
	int prime[maxn],cnt=0;//cnt用来计数，prime数组保存素数 
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		if(!vis[i])prime[cnt++]=i;//如果未被标记过，则表示为素数 
		for(int j=0;j

难点就在于对if (i % prime[j] == 0)这步的理解，意思是每个数保证被它的最小质因数筛出，即当i是prime[j]的整数倍时，记 m = i / prime[j]，那么 i * prime[j+1] 就可以变为 (m * prime[j+1]) * prime[j]，这说明 i * prime[j+1] 是 prime[j] 的整数倍，不需要再进行标记(在之后会被 prime[j] * 某个数 标记)，对于 prime[j+2] 及之后的素数同理，直接跳出循环，这样就避免了重复标记。

 

欧拉筛素数的其他应用：因为prime[j]必定是prime[j]*i的最小质因子。所以这个性质在某些题里可以用到。