分治法的基本思想

分治法的基本思想

总体思想

定义：讲一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。

1. 将待求解的较大规模问题分割成k个更小规模的问题
2. 对这k个子问题分别求解
3. 如果子问题的规模仍然不够小，再划分为k个子问题，如此递归，直到问题规模足够小，可以直接求出解为止

分治法的适用条件

分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：

1. 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易解决
2. 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质
3. 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解（如果只具备上述两个条件，但是这个条件不满足的话，则考虑使用贪心算法或动态规划）
4. 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题（重复地解公共子问题用动态规划比较好）
   注：建议使用分治法时要将子问题的规模划分的较为一致，即平衡子问题

分治法的复杂度分析

概述：

1. 一个分治法将规模为n的问题分成a个规模为n/b的子问题去解
2. 当$n_0$=1,且可以直接求解时，时间单位为1
3. 设将原问题分解为a个子问题以及用merge将a个子问题的姐合并为原问题的解需要用f(n)个单位时间
   用T(n)表示该分治法解规模为|P|=n的问题所需的计算时间

$$T(\mathrm{n})=\{\begin{array}{cl}O(1)& \mathrm{n}=1\\ \mathrm{aT}(\mathrm{n}/b)+\mathrm{f}(\mathrm{n})& \mathrm{n}>1\end{array}$$
（PS：这个求导公式太复杂了，计算麻烦，直接给出最终的情况）

分治法算法复杂度分析的情况

$$T(n)=\{\begin{array}{rlr}O(n)& & a<b\\ O(nlo{g}_{b}n)& & a=b\\ O(n^{lo{g}_{b}a})& & a>b\end{array}$$

分治法之二分查找

二分查找要求被查找数组必须是有序的，首先从中点位置开始查找mid=(high+low)/2，然后和key进行比较
（1）若key==a[mid]，则查找成功并返回该元素下标
（2）若key （3）若key>a[mid]，则查找右子表a[mid+1……high]

注：记得往子表进行查找时，mid一定要+1/-1，因为mid已经与key进行对比了，所以不必要再次算入

二分查找的时间复杂度很好计算O(logn)
（PS：我觉得二分查找这个东西应该挺好理解，而且也很简单实现，就不在过多描述了）