[BZOJ3895] 取石子(思维好题 博弈论+找规律)

题目描述

Alice和Bob两个好朋含友又开始玩取石子了。游戏开始时，有N堆石子
排成一排，然后他们轮流操作（Alice先手），每次操作时从下面的规则中任选一个：
·从某堆石子中取走一个
·合并任意两堆石子
不能操作的人输。Alice想知道，她是否能有必胜策略。

输入
第一行输入T，表示数据组数。
对于每组测试数据，第一行读入N。
接下来N个正整数a1，a2…an，表示每堆石子的数量。
输出
对于每组测试数据，输出一行。
输出YES表示Alice有必胜策略，输出NO表示Alice没有必胜策略。
样例输入
3
3
1 1 2
2
3 4
3
2 3 5
样例输出
YES
NO
NO
数据范围与时空限制
T<=100,n<=50,ai<=1000;
时间限制: 1 Sec 内存限制: 128 MB
思路：
枚举前几个样例，推出规律
原来不想写思路了，可是发现网上很多题解都用到记忆化搜索，但是这样不太好写而且不可以处理较大数据，我在训练时想到了一个简单点的规律，下面介绍一下：
1 处理n=1,n=2,n=3的情况，手动模拟即可求出结果，然后下文处理情况就都是n>=4的情况了。
2 当 a[i] 全是1时，如果n是3的倍数，则必输，否则必胜。
证明：
n=1或n=2可以直接想到取法，n=3时就会发现无论自己怎么操作，对方都可以进行一次操作使场上出现只有一堆石子而且石子数为2的情况，这种情况是必输态，n=4时，可以拿一个石子让对方面对n=3而且每堆石子数都为一的情况，所以n=4必胜，n=5时会发现如果A先拿掉一个石子，然后B再拿掉一个石子的话，A就必输，所以每个人都尽量先不拿石子，然后5堆石子在合并4次会变成1堆石子，而且石子数为5，此时a先手，就又发现a获得胜利，n=6时，a先拿一堆石子的话，就会剩下5堆石子的必胜态，a先合并一堆石子，b就拿掉一个石子数为1的石子，a就会碰到在5堆石子中出现的一个必败态，所以a在n=6时必败，此后类比可以退出来。
3 当a[i]不全是1时
首先考虑没有任何一个1的情况下，会发现石子总数的和对2取余如果==堆数对2取余的值，则必胜，否则必输。
证明
n=1时， 可直接观察出 石子数为奇数则先手胜，否则则后手胜，
n=2 时，如果石子数总和为偶数，先手方则可直接合并两堆石子,获得胜利，否则就必败，因为此时先手方无论怎样操作都无法改变后手方经过一次操作就场上出现石子堆数为一而且石子数总和为偶数的情况。
n=3时也是同样道理，因为此时和为奇数，先手方就可以通过合并两堆石子使场上出现n=2时的必败态，和为偶数时也是先手方无论怎样操作都无法阻止后手方通过一次操作使a面临必败态的情况。
n>=4时也可以归纳证明。
当a[i]不全是1是，设s为1的数量，可以发现
当s为偶数时，后手方可以针对先手方的任何一种操作从而达到取消先手方对一进行操作的影响。
比如，先手方拿走一个1，然后后手方也拿走一个1
或者，先手方把两个1合并，后手方就把刚刚合并得到的2加到一个非一的数上，这样既没改变非一的石子堆数，也没改变非一的石子数综合的奇偶性。
再或者，先手方把一个1和一个非一的石子堆合并，后手方就把另一个1加到刚刚合并的那堆石子上，来来恢复非一石子数总和的奇偶性。
所以可以让s对2取余，然后就到了代码的最后一个if else了，这里的推论已经基本完成了，如果还有问题则在下面评论或者私我qq1807458974；

#include
using namespace std;
typedef long long ll;
int main()
{
    ll n,x,s=0,sum=0,t;
    cin>>t;
    while(t--){
        cin>>n;
        s=0;sum=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            cin>>x;
            if(x==1)
                s++;
            sum+=x;
        }
        if(s==n)
        {
            if(sum%3!=0)
                cout<<"YES"<<endl;
            else
                cout<<"NO"<<endl;
            continue;
        }
        if(n==1)
        {
            if(sum%2==0)
                cout<<"NO"<<endl;
            else
                cout<<"YES"<<endl;
            continue;
        }
        if(n==2)
        {
            if(s==0&&sum%2==1)
                cout<<"NO"<<endl;
            else
                cout<<"YES"<<endl;
            continue;
        }
        if(n==3)
        {
            if(s==1)
                cout<<"YES"<<endl;
            if(s==2)
            {
                if(sum%2==0&&sum!=4)
                    cout<<"NO"<<endl;
                else
                    cout<<"YES"<<endl;
            }
            if(s==0)
            {
                if(sum%2==n%2)
                    cout<<"YES"<<endl;
                else
                    cout<<"NO"<<endl;
            }
            continue;
        }
        if(s%2==1)
        {
            sum-=s;
            n-=s;
            if(sum==2)
                cout<<"NO"<<endl;
            else
                cout<<"YES"<<endl;
            continue;
        }
        else
        {
            sum-=s;
            n-=s;
            //cout<
            if(sum==2||sum%2==n%2)
                cout<<"YES"<<endl;
            else
                cout<<"NO"<<endl;
        }
    }
    return 0;
}