算法——使用单调队列解决滑动窗口问题

滑动窗口

给定一个大小为n≤106的数组。

有一个大小为k的滑动窗口，它从数组的最左边移动到最右边。

您只能在窗口中看到k个数字。

每次滑动窗口向右移动一个位置。

以下是一个例子：

该数组为[1 3 -1 -3 5 3 6 7]，k为3。

窗口位置	最小值	最大值
[1 3 -1] -3 5 3 6 7	-1	3
1 [3 -1 -3] 5 3 6 7	-3	3
1 3 [-1 -3 5] 3 6 7	-3	5
1 3 -1 [-3 5 3] 6 7	-3	5
1 3 -1 -3 [5 3 6] 7	3	6
1 3 -1 -3 5 [3 6 7]	3	7

您的任务是确定滑动窗口位于每个位置时，窗口中的最大值和最小值。

输入格式

输入包含两行。

第一行包含两个整数n和k，分别代表数组长度和滑动窗口的长度。

第二行有n个整数，代表数组的具体数值。

同行数据之间用空格隔开。

输出格式

输出包含两个。

第一行输出，从左至右，每个位置滑动窗口中的最小值。

第二行输出，从左至右，每个位置滑动窗口中的最大值。

输入样例：

8 3
1 3 -1 -3 5 3 6 7

输出样例：

-1 -3 -3 -3 3 3
3 3 5 5 6 7

使用单调队列解决滑动窗口问题

​ 通过读题，我们可以简单描述为有一个长度为n的数组a[n]，给定一个长度为k的“窗口”，a[n]会从头开始依次经过这个窗口，我们需要求的是数组从第k - 1个元素开始，也就是窗口第一次被填满时开始一直到数组结尾，每一次窗口中的值被更新后的最大值和最小值

​ 不难发现，这个窗口是一个从尾部进入，头部出去的模型，那很容易联想到先入先出的数据结构——队列，我们可以假设这个窗口就是一个队列，每次数组元素会从队尾入队，当窗口被填满后，当前的队头元素要出队，我们维护这样一个长度为k的队列，每次求出它的最大值和最小值即可

使用单调队列优化

​ 然后即便我们想到使用队列进行求解，这个问题还是显得十分复杂，我们怎样简化它呢？答案就是使用单调队列

​ 单调队列即队列中的元素满足单调递增或递减的性质，保证队头队尾元素是队列的最大值或最小值，因为从模拟这道题的过程我们可以得出，假设在求窗口中的最小值时，数组存在[..., 3, -1, 0, ...]这样一段序列，当3入队时，它可能是当前队中最小的元素，但当窗口再一次向后移动时，-1进入队列，此时无论如何3都不会再被当成最小值输出，因为-1一定会在3之后出队，所以这时3就没有必要再存在于队中，我们将它排除，如此循环，使得每次入队的元素一定大于前面的元素，我们就可以得到一个单调递增的队列，此时求最小值，我们直需要返回队头元素即可

​ 以上是最小值，求最大值时我们只需要改变元素入队时的判断条件，即可改变单调队列的单调性，使队头元素变成最大值，下面是代码

代码

#include 

using namespace std;

const int N = 1000010;

int q[N], a[N];
int n, k;

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &k);
    for (int i = 0; i < n; ++i) scanf("%d", &a[i]);
    int hh = 0, tt = -1;
    // 最小值
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        if(hh <= tt && i - k + 1 > q[hh]) ++hh;
        while (hh <= tt && a[q[tt]] >= a[i]) --tt;
        q[++tt] = i;
        if (i >= k - 1) printf("%d ", a[q[hh]]);
    }
    puts("");
    hh = 0, tt = -1;
    // 最大值
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        if(hh <= tt && i - k + 1 > q[hh]) ++hh;
        while (hh <= tt && a[q[tt]] <= a[i]) --tt;
        q[++tt] = i;
        if (i >= k - 1) printf("%d ", a[q[hh]]);
    }
}

​ 这里我们使用 q[N]来表示滑动窗口中数组元素的下标，这样更方便我们对队列进行操作