字符串处理 —— 回文串相关 —— Manacher 算法

【概述】

Manacher 算法又称马拉车算法，用于求最长回文子串。

对于最长回文子串传统的求法的求法是以每个字符为中心，向两边寻找回文子串，在遍历完整个数组后即可得到最长回文子串，其时间复杂度为 O(n^2)

而马拉车算法，将求最长回文子串的时间复杂度提升到了线性，其时间复杂度只有 O(n)

【算法流程】

1.预处理

由于字符串的长度分为奇偶两种，因此对于初始的字符串，在每一个字符的左右都加上一个未在串中出现过的字符，得到一个新的字符数组 newStr[]。

比如：

• 奇数字符串：bob --> #b#o#b#
• 偶数字符串：noon --> #n#o#o#n#

这样一来，无论原字符串是奇数个字符还是偶数个字符，处理后的字符串字符的个数都是奇数个，这样就无需分情况讨论了。

2.设置辅助数组

接下来，还需要定义一个辅助数组 p[]，其中 p[i] 表示以字符 newStr[i] 为中心的最长回文半径，若 p[i]=1，则该回文子串就是 newStr[i] 本身。

例如：以字符串 abbahopxp 为例

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
newStr[i]	$	#	a	#	b	#	b	#	a	#	h	#	o	#	p	#	x	#	p	#
p[i]		1	2	1	2	5	2	1	2	1	2	1	2	1	2	1	4	1	2	1

可以看出，p[i]-1 即为原字符串中最长回文串的长度。

3.求解辅助数组

首先新增两个变量 mx 与 id，其中 mx 代表以 id 为中心的最长回文串的右边界，即：mx=id+p[id]

假设求以 i 为中心的最长回文半径，即求解 p[i]，当 i，其中 2*id-i 为图中的 j 点，即 p[j] 是以 j 为中心的最长回文半径

【复杂度分析】

基于回文串的性质，辅助数组 p[i] 的值基于以下三种情况得出：

1）j 的回文串有一部分在 id 的回文串之外

如上图，黑线为 id 的回文串，i 与 j 关于 id 对称，红线为 j 的回文，紫线为 i 的回文，虚线为以 id 为中心的回文右边界 mx，那么根据 p[i]=mx-i，即紫线的部分，那么可以得出，p[i] 无法得到更大的值

如上图，假设右侧新增的紫色 d 部分是 p[i] 可增加的部分，那么根据回文的性质，也即是说 id 的回文 = 黑线 + a + d，矛盾，假设不成立，因此 p[i] 无法再增加，得到一个更大的值

2）j 回文串全部在 i 内部

如上图，此时 p[i]=p[j]，那么可以得出，p[i] 无法得到更大的值

如上图，假设右侧的红线 d 是 p[i] 可增加的部分，那么根据回文的性质，j 的回文 = j 之前的回文 + a + b，矛盾，假设不成立，因此 p[i] 无法再增加，得到一个更大的值

3）i 的回文串右端与 id 的回文串右端重合

如上图，此时 p[i]=p[j]，或 p[i]=mx-i，此时 p[i] 可以继续增加，那么有：

while(newStr[i-p[i]]==newStr[i+p[i]]) 
    p[i]++;

根据（1）（2）（3），容易推出 Manacher 算法的最坏情况，即为字符串内全是相同字符的时候，平均访问每个字符 5 次，同理，也容易推出 Manacher 算法的最佳情况，即为字符串内字符各不相同的时候，平均每个字符访问 4 次。

综上，Manacher算法的时间复杂度为 O(n)。

【实现】

char str[N];//原字符串
char newStr[N*2];//预处理后的字符串
int p[N*2];//辅助数组
int init(){//对原字符进行预处理
    newStr[0]='$';
    newStr[1]='#';
    
    int j=2;
    int len=strlen(str);
    for (int i=0;i