523. Continuous Subarray Sum
一、题目简述
给定一个非负数组和目标整数K，写一个函数以检测给定数组中是否有一个长度至少为2的连续子序列，使得其和能够被K整除，即，其和为 n∗K,n∈Z 。
示例1
Input: [23,2,4,6,7],k=6
Output: True
Explanation: Because [2,4] is a continuous subarray of size 2 and sums up to 6.
示例2
Input: [23,2,6,4,7],k=6
Output: True
Explanation: Because [23,2,6,4,7] is an continuous subarray of size 5 and sums up to 42.
注意：
- The length of the array won’t exceed 10,000.
- You may assume the sum of all the numbers is in the range of a signed 32-bit integer.
函数原型：
bool checkSubarraySum(vector
二、编程思路
思路一：暴力求解
每个子序列的起始下标与终止下标均在 [1,size] 范围之内，其中 size 为序列num的长度。使用两重循环，列出序列 nums 中所有的子序列，求子序列之和sum，判断sum能否被K整除。
该方法的时间复杂度为 O(n2) ，空间复杂度为 O(1) 。
思路二：动态规划
令 f(s,l) 表示序列nums中，下标从s开始，长度为l的子序列之和。
则有：
f(s,l)=nums[s],l=1;
f(s,l)=f(s,l−1)+nums[s],l>=2
使用一个二维数组记录各个子序列之和，如下图所示。
该方法的时间复杂度为 O(n2) ，空间复杂度为 O(n2) 。时间与暴力法相同，而且更加浪费空间。
根据题中所给条件，序列最长为10000，则需要申请10000*10000的二维数组，运行时会报 Memory Error 。
思路三：动态规划二
在思路二中，可以发现每次只需二维数组中一列的数据，因此没有必要将整个数组保留下来。因此只申请一个长度为10000的数组，在每次操作时对其进行更新。记录从s开始长度为l的序列之和。
该方法的时间复杂度为 O(n2) ，空间复杂度为 O(n) 。时间与暴力法相同，空间消耗相对可以接受，可以通过测试。
思路四：
参考网上大神时间复杂度为 O(n) 的实现。
原理：
对于序列 a ，若：
a[i]+a[i+1]+...+a[j]=n1K+q
a[i]+a[i+1]+...+a[j]+...+a[n]=n2K+q
则有：
a[j+1]+...+a[n]=(n2−n1)K
对于本题，求出从序列nums从0开始到 end 的子序列之和，记录其除以K的余数q，若有两个子序列余数相同，并且相应的 end 差值大于1，则说明所求子序列存在，否则便不存在。
该方法的时间复杂度为 O(n) ，空间复杂度为 O(1) 。
三、程序设计
思路一：AC
class Solution {
public:
bool checkSubarraySum(vector<int>& nums, int k) {
int size=nums.size();
if(!size) return false;
int vsum = accumulate(nums.begin() , nums.end(),0);
if(k==0 && vsum==0 && size>1) return true;
if(k==0) return false;
for(int i=0;iint sum=nums[i];
for(int j=i+1;jif(sum%k==0){
// cout<
return true;
}
}
}
return false;
}
}; 思路二：ME
#include0]=nums[i];
}
for(int len=2;len<=size;len++){
for(int start=0;startif(start+len-1>=size) continue;
if(sum[start][len-1]<=0){
sum[start][len-1]=sum[start][len-2]+nums[start+len-1];
}
if(sum[start][len-1]%k==0){
//cout<
return true;
}
}
}
return false;
}
}; 思路三：AC
#includefor(int len=2;len<=size;len++){
for(int start=0;startif(start+len-1>=size) continue;
sum[start]=sum[start]+nums[start+len-1];
if(sum[start]%k==0){
return true;
}
}
}
return false;
}
}; 思路四：AC
class Solution {
public:
bool checkSubarraySum(vector<int>& nums, int k) {
map<int,int> m;
map<int,int>::iterator it=m.end();
int sum=0;
m[0]=-1;
for(int i=0;iif(k)
sum%=k;
it=m.find(sum);
if(it!=m.end()){
if(i-it->second > 1){
return true;
}
}else{
m[sum]=i;
}
}
return false;
}
}; 四、实验心得
动态规划在查找有很多重叠子问题的情况的最优解时有效。它将问题重新组合成子问题。为了避免多次解决这些子问题，它们的结果都逐渐被计算并被保存，从简单的问题直到整个问题都被解决。因此，动态规划保存递归时的结果，因而不会在解决同样的问题时花费时间。
动态规划只能应用于有最优子结构的问题。最优子结构的意思是局部最优解能决定全局最优解（对有些问题这个要求并不能完全满足，故有时需要引入一定的近似）。简单地说，问题能够分解成子问题来解决。
适用情况：
- 最优子结构性质。如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的，我们就称该问题具有最优子结构性质（即满足最优化原理）。最优子结构性质为动态规划算法解决问题提供了重要线索。
- 无后效性。即子问题的解一旦确定，就不再改变，不受在这之后、包含它的更大的问题的求解决策影响。
- 子问题重叠性质。子问题重叠性质是指在用递归算法自顶向下对问题进行求解时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题会被重复计算多次。动态规划算法正是利用了这种子问题的重叠性质，对每一个子问题只计算一次，然后将其计算结果保存在一个表格中，当再次需要计算已经计算过的子问题时，只是在表格中简单地查看一下结果，从而获得较高的效率。
参考资料：动态规划