523. Continuous Subarray Sum

一、题目简述

给定一个非负数组和目标整数K,写一个函数以检测给定数组中是否有一个长度至少为2的连续子序列,使得其和能够被K整除,即,其和为 nK,nZ

示例1
Input: [23,2,4,6,7],k=6
Output: True
Explanation: Because [2,4] is a continuous subarray of size 2 and sums up to 6.

示例2
Input: [23,2,6,4,7],k=6
Output: True
Explanation: Because [23,2,6,4,7] is an continuous subarray of size 5 and sums up to 42.

注意:

  • The length of the array won’t exceed 10,000.
  • You may assume the sum of all the numbers is in the range of a signed 32-bit integer.

函数原型:
bool checkSubarraySum(vector& nums, int k)

二、编程思路

思路一:暴力求解

每个子序列的起始下标与终止下标均在 [1,size] 范围之内,其中 size 为序列num的长度。使用两重循环,列出序列 nums 中所有的子序列,求子序列之和sum,判断sum能否被K整除。
该方法的时间复杂度为 O(n2) ,空间复杂度为 O(1)

思路二:动态规划

f(s,l) 表示序列nums中,下标从s开始,长度为l的子序列之和。
则有:
f(s,l)=nums[s],l=1;
f(s,l)=f(s,l1)+nums[s],l>=2
使用一个二维数组记录各个子序列之和,如下图所示。
该方法的时间复杂度为 O(n2) ,空间复杂度为 O(n2) 。时间与暴力法相同,而且更加浪费空间。
根据题中所给条件,序列最长为10000,则需要申请10000*10000的二维数组,运行时会报 Memory Error

思路三:动态规划二

在思路二中,可以发现每次只需二维数组中一列的数据,因此没有必要将整个数组保留下来。因此只申请一个长度为10000的数组,在每次操作时对其进行更新。记录从s开始长度为l的序列之和。
该方法的时间复杂度为 O(n2) ,空间复杂度为 O(n) 。时间与暴力法相同,空间消耗相对可以接受,可以通过测试。

思路四:

参考网上大神时间复杂度为 O(n) 的实现。
原理:
对于序列 a ,若:
a[i]+a[i+1]+...+a[j]=n1K+q
a[i]+a[i+1]+...+a[j]+...+a[n]=n2K+q
则有:
a[j+1]+...+a[n]=(n2n1)K
对于本题,求出从序列nums从0开始到 end 的子序列之和,记录其除以K的余数q,若有两个子序列余数相同,并且相应的 end 差值大于1,则说明所求子序列存在,否则便不存在。
该方法的时间复杂度为 O(n) ,空间复杂度为 O(1)

三、程序设计

思路一:AC

class Solution {
public:
    bool checkSubarraySum(vector<int>& nums, int k) {
        int size=nums.size();
        if(!size) return false;
        int vsum = accumulate(nums.begin() , nums.end(),0);
        if(k==0 && vsum==0 && size>1) return true;
        if(k==0) return false;
        for(int i=0;iint sum=nums[i];
            for(int j=i+1;jif(sum%k==0){
                    // cout<
                    return true;
                }
            }
        }
        return false;
    }
};

思路二:ME

#include
#include
#include
#define MAX_SIZE 10000
int sum[MAX_SIZE][MAX_SIZE]={-1};

class Solution {
public:
    bool checkSubarraySum(vector<int>& nums, int k) {
        //special condation
        int size=nums.size();
        if(!size) return false;
        int vsum = accumulate(nums.begin() , nums.end(),0);
        if(k==0 && vsum==0 && size>1) return true;
        if(k==0) return false;
        //general condation
        memset(sum,0,sizeof(int)*MAX_SIZE*MAX_SIZE);
        for(int i=0;i0]=nums[i];
        }
        for(int len=2;len<=size;len++){
            for(int start=0;startif(start+len-1>=size) continue;
                if(sum[start][len-1]<=0){
                    sum[start][len-1]=sum[start][len-2]+nums[start+len-1];
                }
                if(sum[start][len-1]%k==0){
                    //cout<
                    return true;
                }
            }
        }
        return false;
    }
};

思路三:AC

#include
#include
#include
#define MAX_SIZE 10000
int sum[MAX_SIZE]={-1};

class Solution {
public:
    bool checkSubarraySum(vector<int>& nums, int k) {
        //special condation
        int size=nums.size();
        if(!size) return false;
        int vsum = accumulate(nums.begin() , nums.end(),0);
        if(k==0 && vsum==0 && size>1) return true;
        if(k==0) return false;
        //general condation
        memset(sum,0,sizeof(int)*MAX_SIZE);
        for(int i=0;ifor(int len=2;len<=size;len++){
            for(int start=0;startif(start+len-1>=size) continue;
                sum[start]=sum[start]+nums[start+len-1];                
                if(sum[start]%k==0){
                    return true;
                }
            }
        }
        return false;
    }
};

思路四:AC

class Solution {
public:
    bool checkSubarraySum(vector<int>& nums, int k) {
        map<int,int> m;
        map<int,int>::iterator it=m.end();

        int sum=0;
        m[0]=-1;
        for(int i=0;iif(k)
                sum%=k;

            it=m.find(sum);
            if(it!=m.end()){
                if(i-it->second > 1){
                    return true;
                }
            }else{
                m[sum]=i;
            }
        }
        return false;
    }
};

四、实验心得

动态规划在查找有很多重叠子问题的情况的最优解时有效。它将问题重新组合成子问题。为了避免多次解决这些子问题,它们的结果都逐渐被计算并被保存,从简单的问题直到整个问题都被解决。因此,动态规划保存递归时的结果,因而不会在解决同样的问题时花费时间。
动态规划只能应用于有最优子结构的问题。最优子结构的意思是局部最优解能决定全局最优解(对有些问题这个要求并不能完全满足,故有时需要引入一定的近似)。简单地说,问题能够分解成子问题来解决。
适用情况:

  1. 最优子结构性质。如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的,我们就称该问题具有最优子结构性质(即满足最优化原理)。最优子结构性质为动态规划算法解决问题提供了重要线索。
  2. 无后效性。即子问题的解一旦确定,就不再改变,不受在这之后、包含它的更大的问题的求解决策影响。
  3. 子问题重叠性质。子问题重叠性质是指在用递归算法自顶向下对问题进行求解时,每次产生的子问题并不总是新问题,有些子问题会被重复计算多次。动态规划算法正是利用了这种子问题的重叠性质,对每一个子问题只计算一次,然后将其计算结果保存在一个表格中,当再次需要计算已经计算过的子问题时,只是在表格中简单地查看一下结果,从而获得较高的效率。

参考资料:动态规划

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