离散数学图论整理
明天就要考试了紧急整理一波基础知识
图的基本概念
- 无向图G=
- 无向边(vj,vk)，顶点数|V(G)|，边数|E(G)|
- 表示
- 关联矩阵：mij表示关联次数，ei和vj
- 有向图D=
- 有向边ek=
- 关联：ek和vi/vj的关系
- 关联次数：端点不相关联为0，关联且端点不同为1，环为2
- 邻域：与顶点v相邻的所有点组成的集合（不包括自身）
- 闭邻域：v的邻域+v
- 关联集：与v关联的所有边的集合
- 表示
- 邻接矩阵：aij(1)表示vi邻接到vj边的条数
- 可达矩阵：可达为1，不可达为0（默认pii=1）
- 有向边ek=
- 零图：无边的仅由孤立点组成的图
- 平凡图：1阶零图
- 度数d(v)：端点次数之和
- 最大度：Δ(G)
- 最小度：δ(G)
- 悬挂定点：度数为1的顶点
- 悬挂边：和悬挂顶点相关联的边
- 完全图
- 无向完全图Kn：边数m=n(n-1)/2,度Δ=δ=n-1
- 有向完全图：边数m=n(n-1),入度/出度Δ+=Δ-=δ+=δ-=n-1,度Δ=δ=2(n-1)
- （有向简单图）竞赛图：基图为Kn
- n(n>=2)阶竞赛图中都有哈密顿通路
- （无向简单图）k-正则图：每个顶点度为k
- 子图/母图/真子图
- 生成子图：顶点和母图相同的子图
- V’导出子图G[V’]：顶点集+和这些顶点关联的所有边作为边集
- E’导出子图G[E’]：边集+和这些边关联的顶点作为顶点集
- 补图：顶点集和原图G相同，边集和原图G相加为Kn
- 一些操作
- G-e删除边
- G-E’删除边集中的边
- G-v’/G-V’
- 收缩边e G\e：删除e后将e的两个端点用一个新顶点代替
通路和回路部分
- 通路/回路：顶点和边交替的序列（回路满足起点=终点）
- 简单通路/回路：边各异
- 初级通路（路径）/回路（圈）：顶点各异边各异
- 奇/偶圈：长度为奇/偶的圈
- 初级通路（路径）/回路（圈）：顶点各异边各异
- 复杂通路/回路：边不各异
- 迹：边不重
- u和v连通u~v：u和v之间有通路(有向图叫可达)
- 连通图/非连通图
- 连通分支p(G)：等价类导出子图个数（连通图p(G)=1）
- 短程线：u和v之间长度最短的通路
- 距离：短程线长度（不连通距离为∞）
- 点割集：去掉某些点之后连通分支数增加，且只去掉该集合中的部分点连通分支数不增加
- 割点：元素数为1的点割集中的元素
- 边割集：去掉某些边之后连通分支数增加，且只去掉该集合中的部分边连通分支数不增加
- 割边/桥：元素数为1的边割集中的元素
- 点连通度k(G)[符号是比k稍微矮一点的样子，打不出来]：点割集中元素最少的个数
- k-连通图：k非负且点连通度≥k
- 边连通度λ(G)：边割集中元素最少的个数
- r-连通图：r非负且边连通度≥r
- （有向图）连通
- 弱连通：略去方向得到的无向图连通
- 单向连通：任意两点vi,vj，总有vi→vj或vj→vi成立
- 强连通：任意两点双向互相可达
- 极大路径：始点或终点始终不与通路外顶点相连
- 扩大路径法：只要始点或终点和通路外点相连，就把它们加到路径里来，如此的到极大路径的方法
- 二部图/二分图/偶图*
- 互补顶点集：V1和V2
- 简单二部图
- 完全二部图Kr,s：V1的每个顶点都和V2的每个顶点相邻
欧拉图与哈密顿图
欧拉图/E图（走全边）
- 欧拉通路：所有边和顶点都走遍且仅走一次
- 半欧拉图：有欧拉通路却没有欧拉回路的图
- 欧拉回路：所有边和顶点都走遍且仅走一次（起始点=终点）
- 欧拉图：有欧拉回路的图
- 平凡图是欧拉图
- 弗洛伊德算法求回路：原则能不走桥就不走，除非无边可走
哈密顿图/H图（走全点）
- 哈密顿通路（初级通路）：经过所有顶点一次且仅一次的通路
- 半哈密顿图：有哈密顿通路但没有哈密顿回路的图
- 哈密顿回路（初级回路）：经过所有顶点一次且仅一次的回路
- 哈密顿图：有哈密顿回路的图
- 一些例子
- 完全二部图Kr,s（r≠s）不是哈密顿图
- Kn是哈密顿图
- 迪杰斯特拉Dijkstra算法：求源点到其他各点的最短路径
- 辅助集合S：存储已经得到最短路径的顶点
- 辅助数组Dist：Dist[k]当前所求得得从源点到顶点k的最短距离（直接or辗转很多点）
- 中国邮递员问题：走遍所有边所需的最短路径
- 欧拉图：走欧拉回路
- 非欧拉图：偶数个奇度顶点，走全部路径+奇度顶点间最短路径
- 货郎担问题：求最短的哈密顿回路
- NP难问题，没有有效算法
- Kn中有(n-1)!条不同的哈密顿回路
树
基本概念
- 有向树：基图是无向树的有向图
- 根树：只有一个顶点入度0，其他顶点入度为1的有向树
- （有向树）树根：入度为0的结点
- 平凡根树：平凡图
- r叉树：每个分支点至多有r个儿子
- r叉有序树/r叉正则有序树
- r叉正则树：每个分支点恰有r个儿子
- r叉完全正则树：树叶层数相同的r叉正则树
- 树叶（悬挂定点）：度为1的结点
- （有向树）入度1，出度0的结点
- 分支点（内点）：度≥2的结点
- （有向树）树根+内点
- （有向树）层数：从树根到v的通路长度
- （有向树）树高：T中层数最大顶点的层数（默认树根层数0）
- 生成树：T是G的生成子图且是树
- 树枝：T中的边
- 弦：不在T中的边
- 余树【非T，上面的杠打不出来】：全体弦组成的集合的导出子图
- 基本回路/圈Cr：添加一条弦er’，使得该弦和其他树枝可以组成一个圈
- 基本回路系统：{C1,C2,C3,…,Cm-n+1}
- 圈秩ξ(G):m+n-1
- 基本割集：只含树枝的割集
- 基本割集系统：{S1,S2,S3,…,Sn-1}
- 割集秩η(G):n-1
- 最小生成树
- 避圈法(Kruskal)：权从小到大排列，从小开始取，和前面取过的边不构成圈则加入生成树
- 最优二叉树（树叶带权）
- Huffman算法：每次取最小的两个结点，加上一个无权的根组成一棵树放回，反复以上步骤直到所有初始结点都放到一棵树上
- 最优前缀码
- 行遍或周游根数T
- 波兰符号/前缀符号法：前序遍历树得到序列（符号放在数前），中序遍历得到算式
- 逆波兰符号/后缀符号法：后序遍历得到序列（符号放在数后），中序遍历得到算式
平面图
- 平面图/可平面图G：可以除顶点外处处无边相交的改画G
- 平面嵌入：画出无边相交的平面图
- 非平面图：无平面嵌入的无向图
- K5和K3,3都是非平面图
- 面：平面嵌入的边将平面划分成若干个区域
- 无限面/外部面R0：面积无限的面
- 有限面/内部面Rk：面积有限的面
- 面Ri边界：包围Ri的所有边组成的回路
- 面R1i次数deg(Ri)：Ri边界的长度
- 极大平面图：是平面图，在任意两个不相邻顶点加边都是非平面图
- 极小非平面图：是非平面图，但任意删一条边就变成平面图
- K5和K3,3都是极小非平面图
- 极小非平面图是简单图
- 同胚：反复插入或消去2度顶点所得图同构
- 对偶图
- 自对偶图：对偶图和自己同构
- 轮图Wn：n-1边形Cn-1中放一个顶点，将这个顶点和Cn-1上所有顶点相连
- 轮图是自对偶图
- 对偶图点色数 等价于 原图面色数
支配与匹配
- 支配集：点集，支配集中的点总和任意不在支配集中的点间有边
- 极小支配集：V*真子集不是支配集
- 最小支配集及支配数γ0(G)：元素个数最少
- 完全图/轮图/星形图γ0(G)=1
- 点独立集：点集，集合中顶点不相邻
- 极大点独立集：再加顶点就不独立了
- 最大点独立集及点独立数β0(G)：元素个数最多
- 点覆盖集：所有边都能在点覆盖集中找到与其关联的那个点
- 极小点覆盖集：V*真子集不是点覆盖集
- 最小点覆盖及点覆盖数α0(G)：元素个数最少
- 边覆盖集：所有点都能在边覆盖集中找到与其关联的那条边
- 极小边覆盖集：E*真子集不是边覆盖集
- 最小边覆盖及点覆盖数α1(G)：元素个数最少
- 匹配（边独立集）：边集，集合中边不相邻
- 极大匹配：再加边就不独立了
- 最大匹配及匹配（边独立）数β1(G)：元素个数最多
- 匹配边/非匹配边：M中的边/非M中的边
- 饱和点/非饱和点：与M相关联的顶点/不与M相关联的顶点
- 完美匹配：G中每个顶点都是饱和点
- （二部图）完备匹配：V1中点都是饱和点
- （二部图）完美匹配：|V1|=|V2| - 交错路径：匹配边和非匹配边交错构成的路径
- 可增广交错路径：起点和终点都是非饱和点的交错路径
- 交错圈：匹配边和非匹配边交错构成的圈
着色
- k-点可着色的：可以用k种颜色给G的顶点着色，使得相邻顶点不同色
- 色数X(G)[扭曲的X那个符号]：是k-可着色的，但不是k-1-可着色的
- G是零图 当且仅当 色数为1
- 完全图色数为n
- 偶圈色数为2，奇圈色数为3
- 奇数阶轮图色数为3，偶阶为4
- G是二部图 当且仅当 G的色数为2
- 色数X(G)[扭曲的X那个符号]：是k-可着色的，但不是k-1-可着色的
- k-面可着色的
- 面色数X(G)*
- k-边可着色的
- 边色数X’(G)
定理
- （度和顶点关系）握手定理：顶点度数之和等于边数的两倍
- 有向图额外：入度之和=出度之和=边数
- 推论：偶数个奇度顶点
- 可图化：非负整数列+度序列之和为偶数
- n阶无向简单图，最大度Δ(G)≤n-1（判断简单图必要条件）
- 同构：结点和边一一对应+同样的关联关系
- （通路存在）n阶图G中，u到v存在通路，则存在长度≤n-1的通路（推论：初级通路）
- （回路存在）n阶图G中，u到v存在回路，则存在长度≤n的回路（推论：初级回路）
- （有关距离）距离非负
- d(u,v)=d(v,u)
- d(u,v)+d(v,w)≥d(u,w)
- （连通度和最小度的关系）：无向连通图G，k(G)≤λ(G)≤δ(G)
- （有向图强连通）强连通 当且仅当 存在经过所有顶点的回路
- （有向图单向联通）单向连通 当且仅当 存在经过所有顶点的通路
- （二部图判别）无向图G(n>=2)是二部图 当且仅当 G中无奇圈
- n阶(n>=2)零图是二部图
欧拉图和哈密顿图
- n阶(n>=2)零图是二部图
- （欧拉图判定）无向图G是欧拉图 当且仅当 G连通且无奇度数顶点
- （欧拉图判定）有向图D是欧拉图 当且仅当 D强连通且每个顶点入度等于出度
- （半欧拉图判定）无向图G是半欧拉图 当且仅当 G连通且恰有2个奇度数顶点
- （半欧拉图判定）有向图D是半欧拉图 当且仅当 D单向连通且恰有2个奇度数顶点(其中一个入度=出度+1，另一个出度=入度+1，其余顶点入度=出度)
- （非平凡的欧拉图判定）无向图G是非平凡的欧拉图 当且仅当 G连通且为若干边不重的圈之并
- （无向哈密顿图必要条件，判断某图不是哈密顿图）对于所有非空顶点子集，都有p(G-V1)≤|V1|
- （无向哈密顿图充分条件，哈密顿图不一定满足这个性质）如果上述定理中n≥3且进一步有d(u)+d(v)≥n，则存在哈密顿回路
- （无向半哈密顿图必要条件，判断某图不是半哈密顿图）对于所有非空顶点子集，都有p(G-V1)≤|V1|+1
- （无向半哈密顿图充分条件，半哈密顿图不一定满足这个性质）无向简单图，任意不相邻顶点u,v，都有d(u)+d(v)≥n-1，则存在哈密顿通路
- 上述反例：彼得森图 - （无向哈密顿图的充要条件）无向简单图G中存在两个不相邻顶点u,v，且d(u)+d(v)≥n，则G∪(u,v)是哈密顿图
树 - （判定树的5个等价条件，无向图G）
- G中任意两个顶点间存在唯一路径
- G无回路 且 边m=n-1
- G连通 且 m=n-1
- G连通 且 任何边都是桥
- G中没有回路 且 任意不同顶点间加边之后产生唯一一个圈
- （树和树叶）n阶非平凡无向树，至少有两片树叶
- （生成树存在？）无向图G具有生成树 当且仅当 G连通
- （边和顶点的关系）G为n阶m边的无向连通图，则m>=n-1
- （余树的边）余树的边为m-n+1
- （圈与圈中边的归属）G中的圈一定和余树有公共边
- （正则树中树叶和分支点数关系）r叉正则树，树叶t，分支点数i，则(r-1) i=t-1
平面图
- 平面图的子图都是平面图，非平面图的母图都是非平面图
- （环/平行边与平面图）平面图加环或者平行边不影响平面性
- （面的次数与边数）各面次数之和＝边数*2
- （极大平面图）极大平面图连通，且（n>=3阶的极大平面图）不可能有割点和桥
- （极大平面图判定）G是n>=3阶简单连通平面图，则G是极大平面图 当且仅当 G的每个面次数均为3
- （平面图判定）G是平面图 等价于 G中不含与K5和K3,3同胚的子图 等价于 G中无可收缩为K5和K3,3的子图
欧拉公式 - （边/面/顶点关系，欧拉公式）G为n阶m边r面的连通图，则n-m+r=2
- （连通分支为k>=2）则n-m+r=k+1
- （边/次数/顶点关系）G连通且deg(Ri)>=l,l>=3，则m<=[l*(n-2)]/(l-2)
- 可由此证明K5和K3,3都是非平面图
- （连通分支为k>=2）G连通且deg(Ri)>=l,l>=3，则m<=[l*(n-k-1)]/(l-2)
- （边/顶点关系）G是n<=3阶m边简单平面图，m<=3n-6
- （极大平面图）G是n<=3阶m边极大平面图，m=3n-6
- （最小度）G是简单平面图，则最小度δ(G)<=5
- （图与对偶图）n/m/面数r和n*/m*/面数r* 有 n*=r,m*=m,r*=n（n*-m*+r*=2）
- (k个连通分支) n*=r,m*=m,r*=n-k+1（n*-m*+r*=2）
- 对偶图性质
- 是平面图，且是平面嵌入
- 是连通图
- G中环对G*桥，G中桥对应G*中环
- 通常是多重图
- 同构的平面图的对偶图不一定同构
支配与独立
- （极小支配集与极大点独立集）无向简单图G中无孤立点，则G的极大点独立集都是极小支配集，反之不一定
- （判定点覆盖）V是点覆盖 当且仅当 V-V是点独立集，即α0(G)+β0(G)=n
- （边匹配与覆盖）β1(G)≤α1(G)，α1(G)+β1(G)=n
- （匹配/覆盖关系）匹配|M|<=边覆盖|W|，取等时M是完美匹配，W是最小边覆盖
- （最大匹配判定定理）最大匹配M 当且仅当 G中不含M的可增广交错路径
- （二部图完备匹配，Hall定理）二部图
- (二部图完备匹配，t-条件) 二部图
着色 - （色数与最大度）X(G)<=Δ(G)+1
- （G不是Kn，也不是奇数阶的圈）X(G)<=Δ(G)
- （面着色）G是k-面可着色的 当且仅当 它的对偶图是k-点可着色的
- （边色数取值）只能是Δ(G)或Δ(G)+1
- (二部图)边色数为Δ(G)
- （轮图）奇阶轮图边色数为n-1（n>=4）
- （完全图）n(≠1)是奇数边色数为n，偶数则为n-1
因为时间仓促没有配图，若有错误望指正，感谢！