[树形DP] 树的最大独立集

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题目描述

对于一棵有N个结点的无根树，选出尽量多的结点，使得任何两个结点均不相邻（称为最大独立集）。

输入

第1行：1个整数N(1 <= N <= 6000)，表示树的结点个数，树中结点的编号从1…N

接下来N-1行，每行2个整数u，v，表示树中的一条边连接结点u和v

输出

第1行：1个整数，表示最大独立集的结点个数

样例输入

11
1 2
1 3
3 4
3 5
3 6
4 7
4 8
5 9
5 10
6 11

样例输出

7

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解题思路

首先我们把这棵树给存下来，由于这是一棵无根树，我们用无向图来保存，这样就可以直接用一号结点来作为根

然后就考虑如何DP，我们定义一个二维的$dp$数组，其中第二个维度只有$0$和$1$两种取值，$dp[i][0]$表示不选第$i$个结点，$dp[i][1]$表示选第$i$个结点，那么我们很容易得出一个状态转移方程：
$dp[i][1]=\sum dp[son(i)][0]+1,dp[i][0]=\sum max(dp[son(i)][1],dp[son(i)][0])$
这个状态转移方程的意思就是当$i$结点被选中的时候，那么它的所有儿子结点肯定不能被选中；当$i$结点没有被选中的时候，它的儿子结点就有去和不去两种选择，所以取两者中的较大者

这样一来，这道题就很简单了，直接一个dfs来DP就可以了

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参考代码

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
#define reg register
 
template <class T>
inline T read() {
    T x = 0; T f = 1; char s = getchar();
    while(s < '0' || s > '9') {if(s == '-') f = -1; s = getchar();}
    while(s >= '0' && s <= '9') {x = (x << 3) + (x << 1) + s - 48; s = getchar();}
    return x * f;
}
 
template <typename T>
inline void wri(T x) {
    if(x < 0) {x = -x; putchar('-');}
    if(x / 10) wri(x / 10);
    putchar(x % 10 + 48);
}
 
template <typename T>
inline void write(T x, char s) {
    wri(x);
    putchar(s);
}
 
template <typename T>
inline T Max(T x, T y) {return x > y ? x : y;}
 
#define MAXN 6005
 
vector <int> G[MAXN];
 
int n;
int dp[MAXN][2];
bool vis[MAXN];
 
inline void dfs(int x) {
    vis[x] = 1;	//vis数组标记已经被访问过的结点，避免重复
    int siz = G[x].size();
    for(reg int i = 0;i <= siz - 1;i ++)
        if(! vis[G[x][i]]) {
            dfs(G[x][i]);
            dp[x][1] += dp[G[x][i]][0];	//状态转移
            dp[x][0] += Max(dp[G[x][i]][1], dp[G[x][i]][0]);
        }
    dp[x][1] ++;
}
 
int main() {
    n = read<int>();
    for(reg int i = 1;i <= n - 1;i ++) {
        int u = read<int>(), v = read<int>();	//用邻接表来储存这棵树
        G[u].push_back(v);
        G[v].push_back(u);
    }
    dfs(1);	//用dfs来DP
    write(Max(dp[1][1], dp[1][0]), '\n');
    return 0;
}