莫队算法(小Z的袜子)

目前的题型概括为三种:普通莫队,树形莫队以及带修莫队。

例题一:小Z的袜子

·述大意:

     进行区间询问[l,r],输出该区间内随机抽两次抽到相同颜色袜子的概率。

·分析:

     对于L,R的询问。设其中颜色为x,y,z....的袜子的个数为a,b,c。。。

那么答案即为(a*(a-1)/2+b*(b-1)/2+c*(c-1)/2....)/((R-L+1)*(R-L)/2)

化简得:(a^2+b^2+c^2+...x^2-(a+b+c+d+.....))/((R-L+1)*(R-L))

即:(a^2+b^2+c^2+...x^2-(R-L+1))/((R-L+1)*(R-L))

所以这道题目的关键是求一个区间内每种颜色数目的平方和。

莫队算法是莫涛发明了。莫队算法是离线处理一类区间不修改查询类问题的算法。就是如果你知道了[L,R]的答案。你可以在O(1)的时间下得到[L,R-1]和[L,R+1]和[L-1,R]和[L+1,R]的答案的话。就可以使用莫队算法。
莫队算法只是预先知道了所有的询问。可以合理的组织计算每个询问的顺序以此来降低复杂度。要知道我们算完[L,R]的答案后现在要算[L',R']的答案。由于可以在O(1)的时间下得到[L,R-1]和[L,R+1]和[L-1,R]和[L+1,R]的答案.所以计算[L',R']的答案花的时间为|L-L'|+|R-R'|。如果把询问[L,R]看做平面上的点a(L,R).询问[L',R']看做点b(L',R')的话。那么时间开销就为两点的曼哈顿距离。所以对于每个询问看做一个点。我们要按一定顺序计算每个值。那开销就为曼哈顿距离的和。要计算到每个点。那么路径至少是一棵树。所以问题就变成了求二维平面的最小曼哈顿距离生成树。

但是这种方法编程复杂度稍微高了一点。所以有一个比较优雅的替代品。那就是先对序列分块。然后对于所有询问按照L所在块的大小排序。如果一样再按照R排序。然后按照排序后的顺序计算。为什么这样计算就可以降低复杂度呢。

一、i与i+1在同一块内,r单调递增,所以r是O(n)的。由于有n^0.5块,所以这一部分时间复杂度是n^1.5。
二、i与i+1跨越一块,r最多变化n,由于有n^0.5块,所以这一部分时间复杂度是n^1.5
三、i与i+1在同一块内时变化不超过n^0.5,跨越一块也不会超过2*n^0.5,不妨看作是n^0.5。由于有n个数,所以时间复杂度是n^1.5

于是就变成了O(n^1.5)了。

莫队算法的思路是,离线情况下对所有的询问进行一个美妙的SORT(),然后两个指针l,r(本题是两个,其他的题可能会更多)不断以看似暴力的方式在区间内跳来跳去,最终输出答案。

     掌握一个思想基础:两个询问之间的状态跳转。如图,当前完成的询问的区间为[a,b],下一个询问的区间为[p,q],现在保存[a,b]区间内的每个颜色出现次数的sum[]数组已经准备好,[a,b]区间询问的答案Ans1已经准备好,怎样用这些条件求出[p,q]区间询问的Ans2?

莫队算法(小Z的袜子)_第1张图片

考虑指针向左或向右移动一个单位,我们要付出多大的代价才能维护sum[]和Ans(即使得sum[],Ans保存的是当前[l,r]的正确信息)。我们美妙地对图中l,r的向右移动一格进行分析:

                                    莫队算法(小Z的袜子)_第2张图片

如图啦。l指针向右移动一个单位,所造成的后果就是:我们损失了一个绿色方块。那么怎样维护?美妙地,sum[绿色]减去1。那Ans如何维护?先看分母,分母从n2变成(n-1)2,分子中的其他颜色对应的部分是不会变的,绿色却从sum[绿色]2变成(sum[绿色]-1),为了方便计算我们可以直接向给Ans减去以前该颜色的答案贡献(即sum[绿色]2)再加上现在的答案贡献(即(sum[绿色]-1))。同理,观赏下面的r指针移动,将是差不多的。

                                      莫队算法(小Z的袜子)_第3张图片

·如图r指针的移动带来的后果是,我们多了一个橙色方块。所以操作和上文相似,只不过是sum[橙色]++。

·回归正题地,我们美妙的发现,知道一个区间的信息,要求出旁边区间的信息(旁边区间指的是当前区间的一个指针通过加一减一得到的区间),竟只需要O(1)的时间。

·就算是这样,到这里为止的话莫队算法依旧无法焕发其光彩,原因是:如果我们以读入的顺序来枚举每个询问,每个询问到下一个询问时都用上述方法维护信息,那么在你脑海中会浮现出l,r跳来跳去的疯狂景象,疯狂之处在于最坏情况下时间复杂度为:O(n2)————如果要这样玩,那不如写一个暴力程序。

·“莫队算法巧妙地将询问离线排序,使得其复杂度无比美妙……”在一般做题时我们时常遇到使用排序来优化枚举时间消耗的例子。莫队的优化基于分块思想:对于两个询问,若在其l在同块,那么将其r作为排序关键字,若l不在同块,就将l作为关键字排序(这就是双关键字)。大米饼使用Be[i]数组表示i所属的块是谁。排序如:

莫队算法(小Z的袜子)_第4张图片

·值得强调的是,我们是在对询问进行操作。

·时间复杂度分析(分类讨论思想):

首先,枚举m个答案,就一个m了。设分块大小为unit。

分类讨论:

①l的移动:若下一个询问与当前询问的l所在的块不同,那么只需要经过最多2*unit步可以使得l成功到达目标.复杂度为:O(m*unit)

②r的移动:r只有在Be[l]相同时才会有序(其余时候还是疯狂地乱跳,你知道,一提到乱跳,那么每一次最坏就要跳n次!),Be[l]什么时候相同?在同一块里面l就Be[]相同。对于每一个块,排序执行了第二关键字:r。所以这里面的r是单调递增的,所以枚举完一个块,r最多移动n次。总共有n/unit个块:复杂度为:O(n*n/unit)

总结:O(n*unit+n*n/unit)(n,m同级,就统一使用n)

根据基本不等式得:当n为sqrt(n)时,得到莫队算法的真正复杂度:

O(n*sqrt(n))

·代码上来了:

#include
#include
#include
#include

using namespace std;

typedef long long ll;

const int N=50003;

int n,m,unit,col[N],Be[N];
ll sum[N],ans;

struct Mo{
    int l,r,ID;
    ll A,B;
};
Mo q[N];

ll S(ll x)
{
    return x*x;
}

ll GCD(ll a,ll b)
{
    while(b^=a^=b^=a%=b);
    return a;
}

int cmp1(Mo a,Mo b)
{
    return Be[a.l]==Be[b.l]?a.rq[i].l){
            revise(l-1,1);
            l--;
        }
        while(rq[i].r){
            revise(r,-1);
            r--;
        }
        if(q[i].l==q[i].r){
            q[i].A=0;
            q[i].B=1;
            continue;
        }
        q[i].A=ans-(q[i].r-q[i].l+1);
        q[i].B=1LL*(q[i].r-q[i].l+1)*(q[i].r-q[i].l);
        ll gcd=GCD(q[i].A,q[i].B);
        q[i].A/=gcd;
        q[i].B/=gcd;
    }
    sort(q+1,q+m+1,CMP);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        printf("%lld/%lld\n",q[i].A,q[i].B);
    }
    return 0;
}

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