Road To The 3rd Building（六，学习总结）

题意：有n个数，选择一个区间求其平均值，求平均值的数学期望。

思路：可以计算每个数对对期望的贡献。
分析第i个数在多少个长度为j的子段出现，最左端i-j+1，最右端i+j-1。
分四种情况讨论，总结出期望的表达式：
再分段计算。

注意：数学知识分情况讨论；求逆元。

#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 2e5+5;
const ll M = 1e9+7;
int tcase,a[maxn],n;
ll inv[maxn],sinv[maxn],C,ans;
inline long long fpow(long long a,long long b)
{
	a%=M;long long r=1;
	for (;b;b>>=1,(a*=a)%=M) if (b&1) (r*=a)%=M;
	return r;
}
void init(int n){
	inv[1] = 1;
	for(int i=2;i<=n;i++)  inv[i] = (M-M/i)*inv[M%i]%M;
	for(int i=1;i<=n;i++)  sinv[i] = (sinv[i-1] + inv[i])%M;
	return ;
}
inline void Solve(){
	cin>>n;
	C = ans = 0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
	}
	for(int i=1,p=n>>1;i<=p;i++){
			ll cov=i;
		cov+=i*(sinv[n-i]-sinv[i]+M)%M;
		cov%=M;
		(C+=i*inv[n-i+1]%M)%=M;
		(cov+=C)%=M;
		(ans+=a[i]*cov%M)%=M;
		(ans+=a[n+1-i]*cov%M)%=M;
	}
	if(n&1){
		ll cov=0;
		for (int i=1;i<=n;i++) 
		(cov+=min(i,n+1-i)*inv[i]%M)%=M;
		(ans+=cov*a[(n>>1)+1]%M)%=M;
	}
	cout<<ans*fpow(1LL*n*(n+1)/2,M-2)%M<<endl;
	return ;
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	init(200000);
	cin>>tcase;
	while(tcase--){
		Solve();
	}
	return 0;
}