m个苹果放入n个篮子（java）

题目描述

现有m个相同的苹果（00）,允许篮子为空，问共有多少种放法？
（注：1 3 1和1 1 3是一种放法）

例：
输入7 3
输出8

题目分析

可以将题目分为n>m和n<=m两大类：

1. n>m
   此时篮子数大于苹果数，而篮子是相同的，所以此时同m个篮子，即：
   $$F(m,n)=F(m,m)$$
2. n<=m
   此时篮子数小于等于苹果树，由于篮子可以为空，因此可以再细分为两种情况：
   （1）至少有一个篮子为空，即：
   $$F(m,n)=F(m,n-1)$$
   （2）篮子里都有苹果，如果每个篮子都有苹果，则每个篮子各取出1个苹果，对结果没有影响，所以：
   $$F(m,n)=F(m-n,n)$$

代码实现

递归

private static int digui(int m, int n) {
     // 递归出口
     // 如果没有苹果或者只有1个篮子，则只有1种放法
     if (m == 0 || n == 1) {
         return 1;
     }
     if (n > m) {
         return digui(m, m);
     } else {
         return digui(m, n-1) + digui(m-n, n);
     }
 }

动态规划

private static int dp(int m, int n) {
     // 定义一个数组存放中间计算值
     int[][] resultTable = new int[m+1][n+1];
     for (int j = 1; j <= n; j++) {
         // 没有苹果
         resultTable[0][j] = 1;
     }
     for (int i = 1; i <= m; i++) {
         // 只有一个篮子
         resultTable[i][1] = 1;
     }
     // i代表苹果，j代表篮子
     for (int i = 1; i <= m; i++) {
         for (int j = 1; j <= n; j++) {
             if (j > i) {
                 resultTable[i][j] = resultTable[i][i];
             } else {
                 resultTable[i][j] = resultTable[i][j-1] + resultTable[i-j][j];
             }
         }
     }
     return resultTable[m][n];
}