递推方程的求解

先修知识

常见序列的求和公式

求和例子

上面的例子同等比数列的差别在于从首项的常数变成了未知数，利用2的巧妙拆分去求和，下面的例子里将会用到这一公式。

估计和式上界的放大法

二分检索算法的平均时间复杂度分析实例

二分检索算法伪代码表示

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假设待检索数列T的长度为n，下面的左图表示x(待查找的数)在数列T中的各个位置，而右边则表示x不在数列中的各个情况。那么输入的所有情况便是两种的总和2n+1

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对于上图的所有输入情况，每种情况的输入个数如下图所示，尤其值得注意的是比较k次的(因为上面假设了n同k的特殊关系)输入个数，后面的n+1便是上图中所有不在数列T中的情况。
那么总的输入次数便是对每个输入乘以次数并求和

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总的输入次数除以总的输入情况便是我们的要求的平均时间复杂度。如果觉得理解有困难的话，你可以类比一下，上面各种情况的输入次数表示每个人各有的不等的苹果数量，而输入情况的总数便是人的数量，那我们要求每个人平均的苹果数便是如此求。
值得一提的是，虽然我们求的平均时间复杂度，却没有出现时间，因为我们这里求得是平均输入次数，那么自然也可以类似等价于平均时间复杂度。

递推方程的几种求法

迭代法

先引入例子

操作方法

• 不断用递推方程的右部替代左部
• 每次替代随着n的降低，在和式中多出至少一项
• 直到出现初值则迭代停止
• 将初值代入并用常用的序列求和进行求和
• 可用数学归纳法验证解的正确性

换元迭代

利用二分归并排序来举例

读者可以尝试用不换元进行直接迭代，将会比较不直观。
因为问题的复杂度是成倍的减小的，但通过换元我们可以将其化简为类似问题复杂度-1的情况

下面是迭代的求解过程

差消法化简高阶递推方程

1. 采用快速排序的例子引入

2. 下面是输入的总的n种情况

3. 工作量总和

4. 那么快速排序的平均工作量如下，将会非常不好求。那么我们的目标是去化简中间的求和序列，考虑其能否转化成我们上面的递推式(只同问题规模-1的下一项相关而言)

5. 考虑等比数列的差消化简得方式


6. 利用上面常规得迭代求法，最后式子中得符号可以看我的另一篇文章关于函数渐近的界。

递归树方法

递归树的概念

迭代在递归树中的表示方法

递归树的生成规则

递归树生成实例

生成的递归树

对递归树上的量求和

递归树的应用实例

主定理

主定理的应用背景

主定理概念

注：对下下面等式中的O符号等有疑问的，可以参考我的另一篇关于函数渐近的界的文章。

主定理证明过程

主定理的应用

不能使用主定理的例子

上面的反例我们可以采用递归树的方法去求解

文章的主体内容为北京大学屈婉玲老师的网课内容的整理