《凸优化》7 学习笔记

学习了一下中科大 凌青 老师的凸优化视频.做一点笔记.

例：线性矩阵不等式LMI.

A(X)=∑i=1kXiAi⪯B, A ( X ) = ∑ i = 1 k X i A i ⪯ B ,

其中，对所有的 i∈[1,k] i ∈ [ 1 , k ] 有 B,Ai,Xi∈Sm B , A i , X i ∈ S m . Sm S m 指的是一切长宽都为 m m 的对称矩阵的集合.
且

A(X)⪯B A ( X ) ⪯ B

意味着 B−A(X)⪰0 B − A ( X ) ⪰ 0 ,就是说 B−A(X) B − A ( X ) 是个半正定矩阵.

求证: {X|A(X)⪯B} { X | A ( X ) ⪯ B } 是凸集.
为了证明这个性质，我们需要先证明：1.对凸集进行仿射变换（就是线性变换），得到集合的仍然是凸集。2.所有半正定矩阵的集合 Sm+ S + m 是个凸集.
这两个证明比较简单，这里不说了。

先说明一下函数的”广播”. 有一个简单的函数: g(x)=x2 g ( x ) = x 2 . 设 C C 是一个集合. 约定: g(C)={g(x)|x∈C} g ( C ) = { g ( x ) | x ∈ C } .

接下来开始证明.
定义仿射变换 f(x)=B−A(X) f ( x ) = B − A ( X ) .

f({X|B−A(X)⪰0})=f(X|f(X)⪰0)={f(P)|P∈{X|f(X)⪰0}}={f(P)|f(P)⪰0}={X|X⪰0}=Sm+(使用f)(广播)(消解)(消解)(332) (使用 f ) f ( { X | B − A ( X ) ⪰ 0 } ) = f ( X | f ( X ) ⪰ 0 ) (广播) = { f ( P ) | P ∈ { X | f ( X ) ⪰ 0 } } (消解) = { f ( P ) | f ( P ) ⪰ 0 } (消解) = { X | X ⪰ 0 } (332) = S + m

那么， f f 的逆变换 f−1 f − 1 就满足:

f−1(Sm+)={X|B−A(X)⪰0}.(333) (333) f − 1 ( S + m ) = { X | B − A ( X ) ⪰ 0 } .

因为 f f 是个仿射变换, f−1 f − 1 也应是个仿射变换.对凸集 Sm+ S + m 进行的仿射变换得到了 {X|B−A(X)⪰0} { X | B − A ( X ) ⪰ 0 } ,它也是个凸集.