NOIP2017小凯的疑惑（提高D1T1）

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小学奥数题&&结论题

ans=a∗b−a−b

给大家一个不太严谨的证明：

引用来自http://www.cnblogs.com/jefflyy/p/7819858.html

用到一个引理：不定方程 ax+by=c(a,b,c>0) 一定有一组解 (x1,y1) 满足 −a<y1≤0 且 x1>0

先证引理

首先，显然 x,y 中至少有一个非负（都是负数就不可能等于 c ）

然后假设有一组特解 (x0,y0) ，那么通解为 (x0+bt,y0−at)(t∈Z)

所以有一组特解 (x1,y1) 满足 −a<y1≤0

因为 y1≤0 ，所以 x1>0

引理得证

再证原命题

a=1 或 b=1 时命题成立，下面考虑 a>1,b>1

分两步：

1.证 ab−a−b≠ax+by

假设 ab−a−b=ax+by(x≥0,y≥0)

那么 ab=a(x+1)+b(y+1)

令 m=x+1,n=y+1(m≥1,n≥1) ，则 ab=am+bn

所以 a|bn

又因为 gcd(a,b)=1 ，所以 a|n ，不妨设 n=an′

上面的式子变为 ab=am+abn′ ，推出 am=(1−n′)ab≤0 ，矛盾！

原命题得证

2.证 ab−a−b+t(t≥1) 可以被分解为 ax+by 的形式

构造不定方程 au+bv=t ，由引理得它有一组特解满足 −a<v0≤0 且 u0>0

ab−a−b+t=ab−a−b+au0+bv0=(u0−1)a+(v0+a−1)b

因为 u0−1≥0,v0+a−1≥0 ，所以原命题得证

所以， ab−a−b 是最大的不能被表示为 ax+by 的整数

code

#include
using namespace std;
unsigned long long a,b;
int main()
{
    cin>>a>>b;
    cout<return 0;
}