学弟学妹的数学测试

抽了窝bin 的数论中 几道比较基础的数学题, 来给学弟学妹入门这方面知识。

链接 密码 hutacm

第一题: Light OJ 1336

  题意: F(n) 是 n 的约数的和。 题目求 1 - n 中有多少 F(n) 为偶数。

 

  思路: 题目给你了 相关知识, 一个数 n 可以表示成 n=∏pi^ei  而 F(n) = (p1^(e1+1)-1)/(p1-1))*(p2^(e2+1)-1)/(p2-1))....

      分析一下:  当 p 为 2 时, (p ^ (e + 1) - 1) / (p - 1) 总为奇数的

            当 p != 2 时, 需探求  (p ^ (e + 1) - 1) / (p - 1) 奇偶性,   

            公式: a^n-b^n (其中n为正整数) =(a-b)[a^(n-1) + a^(n-2) *b +... + a*b^(n-2)+b^(n-1)] 

            得知当 n-1 为偶数的时候, [a^(n-1) + a^(n-2) *b +... + a*b^(n-2)+b^(n-1)] 有奇数项, 

            则可知 当 e 为偶数的时候, (p ^ (e + 1) - 1) / (p - 1)为奇数。

            故此我们可以得出 对于 n=∏pi^ei , 当 (pi != 2  && ei % 2 == 0) ==> F(n) 是奇数的---> F(2n) 也是奇数。

            因为 ei 均为偶数 ( pi != 2 ),所以我们只要算出 1 - n 中有多少 平方数 和二倍平方数即可。 

  代码实现: 

      

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define lson l , m, rt << 1
#define rson m+1, r, rt << 1|1
#define INF 0x7fffffff
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
using namespace std;
int main() {
    int t;
    cin >>t;
    for(int kase = 1; kase <= t; kase++)
    {
        ULL n;
        cin >>n;
        ULL ans = 0;
        for(ULL i = 1; i *i <= n; ++i)
        {
            ans ++;
            if(2*i*i<= n) ans ++;
        }
        cout <<"Case "<

 

第二题: LightOJ 1236 (其实这道题我抓错了, 哭瞎, 本来是 1245 的, 手贱, 不过也不是很难 )

  题意: 求有多少对数 ( i , j ) lcm (i , j ) == n && ( i <= n && j <= n)

  思路: 有了第一题做基础, 这题就不难了。

      首先介绍一下 lcm , gcd 吧

      N1 = p1 ^ e1 * p2 ^ e2 * p3 ^ e3 .......

      N2 = p1 ^ s1 * p2 ^ s2 * p3 ^ s3 .......

      gcd ( N1, N2 ) = p1 ^ min(e1, s1) * p2 ^ min(e2, s2) .....

      lcm ( N1, N2 ) = p1 ^ max(e1, s1) * p2 ^ max(e2, s2) ....

     如果 n % ( p ^ c ) == 0, 那么在 i, j中, 只有 : 

                        i % (p^c) == 0 && ( j % (p^0) == 0 || j % (p ^ 1) == 0 || .... || j % (p ^ c ) == 0 ), 共 c + 1 种

                        反之亦然, 故一个指数就可以产生 2 * c + 1 种

                        故 我们只需要分解给定的 N 就可以得出答案了。 (代码中 j >= i 的, 故 最后结果要 / 2)

     实现: 

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define lson l , m, rt << 1
#define rson m+1, r, rt << 1|1
#define INF 0x7fffffff
const long long maxn = 1e7 + 131;
const int MOD  = 10000007;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
using namespace std;
LL Primes[maxn / 10], Count;
bool Jug[maxn];
void INT() {
	Count = 0;
	memset(Jug,0,sizeof(Jug));
	for(LL i = 2; i <= maxn; ++i)
	{
		if(Jug[i] == 0) 
		{
			Primes[Count++] = i;
			for(LL j = i*i; j <= maxn; j += i) Jug[j] = 1;
		}
	}
}
int main() {

	INT();
	//for(int i = 0; i < 20; i++) cout << Primes[i] << endl;
	int T;
	cin >> T;
	for(int kase = 1; kase <= T; ++kase) 
	{
		ULL a;
		ULL ans = 1;
		cin >> a;
		for(int i = 0; i < Count && Primes[i] * Primes[i] <= a; ++i) 
		{
			if(a % Primes[i] ==0) {
				LL tot = 0;
				while(a % Primes[i] == 0) tot++, a /= Primes[i];
				ans *= (tot*2+1);
			}
		}
		if(a  > 1) ans *= 3;
		printf("Case %d: %llu\n",kase,(ans+ 1)/2 );
	}
	return 0;
}

  

第三题: Light OJ 1234

  题意: 求 ∑ (1 / n)

  思路: 有一堆数学公式, 但是也是可以打表过的。。。具体看代码吧

  实现:

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
int num;
double s[1000010];
int main()
{
   	double temp = 1;
	for(int i=2; i<=100000000; i++)
	{
		temp += 1.0/i; 
		if(i%100==0)
			s[i/100] = temp;//分成100个每组打表.........O(1e8)
	}
	cin>>num;
	int cn = 0;
	int n;
	double ans;
	while(num--)
	{
		ans = 0;
		cn++;
		scanf("%d", &n);
		ans = s[n/100];
		for(int i=100*(n/100)+1; i<=n; i++)
		{
			ans += 1.0/i;
		}
		printf("Case %d: %.8f\n", cn, ans);
	}
    return 0;
}

第四题: LightOj 1214

  题意: 判断 a % b == 0 的问题

  思路: 看数据就知道是 大数问题, 也就是用字符串模拟 算术过程, 注意正负号就好了。

  实现: 

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define lson l , m, rt << 1
#define rson m+1, r, rt << 1|1
#define INF 0x7fffffff
const int maxn = 1e6 + 131;
const int MOD  = 10000007;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
using namespace std;
int main() {
	string a;
	LL b;
	int T;
	cin >> T ;
	for(int kase = 1; kase <= T; kase++) 
	{
		ULL ans = 0;
		int cas = 0;
		cin >> a >> b;
		if(a[0] == '-') cas = 1;
		if(b < 0) b = -b;
		for(int i = cas;  i < a.length(); ++i) 
		{
			ans += a[i] - '0';
			ans %= b;
			ans = ans * 10 % b;
		}
 		if(ans == 0) printf("Case %d: divisible\n",kase);
 		else printf("Case %d: not divisible\n",kase);
	}
	return 0;
}

  

  

 第五题: Light Oj 1213

 题意: 优化如下代码: 

#include 

int cases, caseno;
int n, K, MOD;
int A[1001];

int main() {
    scanf("%d", &cases);
    while( cases-- ) {
        scanf("%d %d %d", &n, &K, &MOD);

        int i, i1, i2, i3, ... , iK;

        for( i = 0; i < n; i++ ) scanf("%d", &A[i]);

        int res = 0;
        for( i1 = 0; i1 < n; i1++ ) {
            for( i2 = 0; i2 < n; i2++ ) {
               for( i3 = 0; i3 < n; i3++ ) {
                   ...
                   for( iK = 0; iK < n; iK++ ) {
                       res = ( res + A[i1] + A[i2] + ... + A[iK] ) % MOD;
                   }
                   ...
               }
            }
        }
        printf("Case %d: %d\n", ++caseno, res);
    }
    return 0;
}

分析:  这题数据很大, 直接TLE, 我们发现 , 总共是 n ^ k 次方次加法, 但每个数不是这么多,可以找一下规律, 发现 每个 A[i] ( 0 <= i < n ) 加了 k * n ^ ( k - 1) 次, 故答案是 sum *   n ^ ( k - 1)  % mod

    也可以用概率来分析这题,  总共 n ^ k 次加法, 可以发现每个 A[i] 出现的概率都是相同的, 每次 加 k 个数, A[i]一次加法中出现的概率 为 k / n, 故 A[i] 出现的次数为  k * n ^ ( k - 1) 次

实现: 

#include 

using namespace std;

typedef long long LL;

const int maxn = 10000 +131;

LL PowMOD(LL a, LL n, LL MOD) {
    LL ret = 1, tmp = a;
    while (n) {
        if(n & 1) ret = ret * tmp % MOD;
        tmp = tmp * tmp % MOD;
        n >>= 1;
    }
    return ret;
}

int main() {
    int t;
    cin >> t;
    LL n, k, MOD, tmp, Sum;
    for(int Case = 1; Case <= t; ++Case) {
        cin >> n >> k >> MOD;
        Sum = 0;

        for(int i = 0; i < n; ++i) {
            cin >> tmp;
            Sum += tmp;
        }
        Sum = (Sum * (k * PowMOD(n, k-1, MOD) % MOD)) % MOD;
        printf("Case %d: %lld\n", Case, Sum);
    }
}

第六题:SGU 106 (也是抓错的, 内心是防AK的)

扩展欧几里得定理板子题, 不多讲解了

转载于:https://www.cnblogs.com/aoxuets/p/5244024.html

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