逆元详解（加扩展欧几里得和费马小定理的证明）

最近，wyb小朋友老是不好好搞他的数据结构，跑过来问我数学，没办法，所以我决定每天发一篇数论的博客，骗骗流量（以后wyb有不会的就看我博客，哈哈哈）先从基础的更起吧。

逆元：

我第一次接触逆元是在离散数学的代数系统中，对于一种运算满足（为该运算的单位）则称是的逆元。

逆元在算法中的运用：

逆元在算法中主要是为了整数的除法取模，显然除法是不能直接取模的。但是我们可以转化一下，因为乘法是可以直接取模的。

所以我们的问题直接转变成了求b的逆元。

逆元的求法：(此处的逆元是指的模运算的逆元)

1.费马小定理：

（此处的p为素数）

要证明费马小定理，首先我们需要证明对于任意的整数a，b，c有一个素数p满足，使得

对p取模的所有数字为，又因为0乘任何数等于0所以剔除0，令a为任意正整数都有原式得证

如果p为小素数我们选择直接暴力，时间复杂度为：

int Fermat_inverse(int a,int mod)
{
    int res = 1;
    for(int i = 1;i < mod - 1;++i) res *= a;
    return res; 
}

如果p为大素数，我们可以用快速幂求解，时间复杂度为：

long long fast_pow_mod(long long a,long long b,long long mod)
{
    long long res = 1;
    while(b){
        if(b & 1) res = (res * a) % mod;
        a = (a * a) % mod;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}
long long Fermat_inverse(long long a,long long mod)
{
    return fast_pow_mod(a,mod - 2,mod); 
}

2.扩展欧几里得：

对于任意的两个正整数（负整数将负号提至系数）a,b必然存在两个整数x，y使得

懒得再写一篇。

设,所以显然存在两个整数x,y使得

int extend_gcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(!b){
        x = 1,y = 0;
        return a;
    }
    else{
        int t = extend_gcd(b,a % b,y,x)
        y -= (a / b) * x;
        return t;
    }
}

至于取逆元：

int inverse_extend_gcd(int n)
{
    int x,y;
    gcd_plus(n,mod,x,y);
    x = (x % mod + mod) % mod;
    return x;
}

当然，扩欧求逆元和费马小定理求逆元有一个相同的问题，那就是，对于此处的mod要求必须得是素数！！！

3.欧拉表求逆元(mod不需要为素数)

费马定理指出：

所以此处模运算的逆元为

所以只需要打出欧拉表就能的求出逆元啦。