选择问题——选出第K个最大的元素

最近在读《数据结构与算法分析（C语言描述）》，在优先队列（堆）一节中，作者总结了关于“选择问题——求第k个最大的元素”的几种思路，在此简单总结一下：

第一种

将这N个数读进一个数组中，再通过某种简单的算法，比如冒泡排序、选择排序等，以递减顺序将数组进行排序，然后返回位置k上的元素。假设使用最简单的排序算法，则运行时间为O(N2)

第二种

这是对第一种算法的简单优化。申请一个大小为k的数组，然后先把前k个元素读入数组并以递减顺序进行排序。接着，将剩下的元素再逐个读入。当新元素被读到时，如果它小于数组中的第k个元素则忽略，否则将其放到数组中正确的位置上（就是插入排序啊！），同时将数组中最后一个元素挤出数组。当算法终止时，位于第k个位置上的元素就是最终结果，即第k个最大的元素。
该算法的平均运行时间为O(N⋅k)，但是最差时间为O(N2)

第三种

简单来说：建最大堆！
将N个元素读入数组，然后对该数组执行BuildHeap算法（就是将这N个元素进行建堆，当然也可以边读数边建堆），最后，执行k次DeleteMin操作（就是删除根结点，也就是删除当前堆中最大的那个数）。从该堆中最后提取的那个元素就是我们的答案。

时间复杂度分析：

• 如果使用BuildHeap，构造堆的最坏情形用时是O(N)，而每次DeleteMin用时O(logN)(要随时调整堆)，由于有k次DeleteMin，因此总运行时间为O(N+klogN)。
• 如果k=O(N/logN)，那么运行时间取决于BuildHeap操作，即O(N)
• 对于大的k的值，运行时间为O(klongN)

第四种

算是第二种和第三种思路的结合。
也就是用堆来实现大小为k的数组S，前k个元素通过调用一次BuildHeap，以总时间O(k)被置入堆中，处理其余每个元素的时间为O(1)（检测元素是否进入数组）再加上时间O(longk)（在必要时删除根结点并插入新元素）。因此总的时间为O(k+(N−k)longk)=O(Nlongk)。