不容易系列之一（九度教程第 94 题）

不容易系列之一（九度教程第 94 题）

时间限制：1 秒 内存限制：128 兆 特殊判题：否

1.题目描述：

大家常常感慨，要做好一件事情真的不容易，确实，失败比成功容易多了！做好“一件”事情尚且不易，若想永远成功而总从不失败，那更是难上加难了，就像花钱总是比挣钱容易的道理一样。话虽这样说，我还是要告诉大家，要想失败到一定程度也是不容易的。比如，我高中的时候，就有一个神奇的女生，在英语考试的时候，竟然把 40 个单项选择题全部做错了！大家都学过概率论，应该知道出现这种情况的概率，所以至今我都觉得这是一件神奇的事情。如果套用一句经典的评语，我们可以这样总结：一个人做错一道选择题并不难，难的是全部做错，一个不对。不幸的是，这种小概率事件又发生了，而且就在我们身边：事情是这样的——HDU 有个网名叫做 8006 的男性同学，结交网友无数，最近该同学玩起了浪漫，同时给 n 个网友每人写了一封信，这都没什么，要命的是，他竟然把所有的信都装错了信封！注意了，是全部装错哟！现在的问题是：请大家帮可怜的 8006 同学计算一下，一共有多少种可能的错误方式呢？

输入：
输入数据包含多个多个测试实例，每个测试实例占用一行，每行包含一个正整数 n（1 输出：
对于每行输入请输出可能的错误方式的数量，每个实例的输出占用一行。

样例输入：
2
3
样例输出：
1
2

2.基本思路

要把所有的信件全都犯错，在数学上，这是一个排列组合的问题(错排)。我们采用如下的步骤进行分析。
符号定义：$F(n)$表示$n$封信全都放错的情况总数。
有$n$封信 $1,2,...,k,...,n$,其对应的信封为$L_1,L_2,...,L_k,...,L_n$
现在考虑将第n封信加入到信件的集合中：
存在以下两种情况：
①将第n封信放在$L_k$中，且将第k封信放在了$L_n$中那么此时只需要对剩余的$n-2$封信及其他们刚好对应的$n-2$个信封进行错排即可对应$F(n-2)$,又因为第$k$封是在$n-1$封信中挑选出来的有$n-1$种可能性，所以①对应的情况总数为$(n-1)\ast F(n-2)$ .
②将第n封信放在$L_k$中，但第k封信没有放在$L_n$中。也就是说，第k封信不能放在$L_n$当中，那么其实在剩余的n-1封信中其实可以把$L_n$等价为$L_k$ ，因为对于$L_n$的约束只有第k封信不能放进去，那么对于剩余的n-1封信其实就可以将问题等价转化为有n-1封信：$1,2,...k,...,n-1$,和n-1个信封:$L_1,L_2,...,L_k,...L_{n-1}$。那么对这n-1封信进行错排就会有F(n-1)种情况，和之前一样第$k$封是在$n-1$封信中挑选出来的有$n-1$种可能性，所以②对应的情况总数为$(n-1)\ast F(n-1)$ .
所以综上所述：可以等到如下递推方程:
$$F(n)=(n-1)\ast F(n-1)+(n-1)\ast F(n-2)$$
以上就是数学上常说的错排公式。
那么有了如上的递推方程，我们就可以采用递归/迭代的方式进行求解。这里推荐采用迭代的方式，因为如果采用递归的话，子问题F(n-1)和F(n-2)的求解会存在大量重复的子问题，导致大量重复的计算，当递归的层数变深之后效率就会变得十分低下。
还有一个需要注意的细节就是该题中N的取值范围为{N|1≤N≤20,N∈Z},而F(20)不在int类型的范围内，需要采用long long类型才会导致结果不会溢出。

3.代码实现

#include 

using namespace std;

//F(n)=(n-1)*F(n-1)+(n-1)F(n-2)

long long F_recursive(int n){//采用递归的方式进行求解
    if(n==1)return 0;
    if(n==2)return 1;
    else
        return (n-1)*F_recursive(n-1)+(n-1)*F_recursive(n-2);
}

long long F_iterator(int n){//采用迭代的方式进行求解
    long long a,b,c;
    if(n==1)return 0;
    if(n==2)return 1;
    else{
        a=0,b=1;
        for(int i=3;i<=n;i++){
            c=(i-1)*(a+b);
            a=b;
            b=c;
        }
        return c;
    }
}
int main()
{
    int N;
    while(scanf("%d",&N)!=EOF){
        printf("%lld\n",F_iterator(N));
    }
    return 0;
}
/*
样例输入：
2
3
样例输出：
1
2
*/