【JZOJ6275】小L的数列

description

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analysis

• 考虑矩阵乘法

• 设初始$m\times m$矩阵上$i$行$j$列的数字表示该矩阵第$j$位上$f[i]$的指数

• 那么一开始表示$f[1..k]$的矩阵就长这个样子，举样例$k=4$的例子

$$\left(\begin{array}{c}1,0,0,0\\ 0,1,0,0\\ 0,0,1,0\\ 0,0,0,1\end{array}\right)$$

• 也就是$f[1]=f[1{]}^1,f[2]=f[2{]}^1$等等

• 可知$f[5]=f[4{]}^{b[1]}f[3{]}^{b[2]}f[2{]}^{b[3]}f[1{]}^{b[4]}$，那表示$f[2..k+1]$的矩阵就是

$$\left(\begin{array}{c}0,0,0,b[4]\\ 1,0,0,b[3]\\ 0,1,0,b[2]\\ 0,0,1,b[1]\end{array}\right)$$

• 不懂可以把这个矩阵的各项拆出来，同一列从上往下做$f$的次幂再相乘就可以分别得到$f[2..k+1]$

• 由于第一个矩阵相当于矩阵意义的$1$，所以转移矩阵就是第二个矩阵

• 好像这就没了，但是要知道指数的矩乘不能直接取模，比如$3^{15}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7̸=3^{15\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}7}$

• 费马小定理告诉你$a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$，也就是说每$p-1$个$a$相乘的积模$p$等于$1$

• 于是矩乘里的模数取原来的模数$-1$就可以了

• 我在考场上最后十分钟推出第二个矩阵对然后我™就不知道那个就是转移矩阵然后傻逼地对着转移矩阵发呆

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code

#pragma GCC optimize("O3")
#pragma G++ optimize("O3")
#include
#include
#include
#define MAXK 205
#define mod 998244353
#define MOD 998244352
#define ll long long
#define reg register ll
#define fo(i,a,b) for (reg i=a;i<=b;++i)
#define fd(i,a,b) for (reg i=a;i>=b;--i)

using namespace std;

ll b[MAXK],f[MAXK];
ll n,m,ans;

struct matrix
{
	ll f[MAXK][MAXK],n,m;
	matrix(){memset(f,0,sizeof(f));}
}tmp;
inline ll read()
{
	ll x=0,f=1;char ch=getchar();
	while (ch<'0' || '9'<ch){if (ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while ('0'<=ch && ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
	return x*f;
}
inline matrix operator*(matrix a,matrix b)
{
	matrix c;
	fo(i,1,m)fo(j,1,m)fo(k,1,m)
	c.f[i][j]=(c.f[i][j]+a.f[i][k]*b.f[k][j])%MOD;
	return c;
}
inline matrix pow(matrix x,ll y)
{
	matrix z;
	fo(i,1,m)z.f[i][i]=1;
	if (y==0)return z;
	while (y)
	{
		if (y&1)z=z*x;
		x=x*x,y>>=1;
	}
	return z;
}
inline ll ksm(ll x,ll y)
{
	ll z=1;
	while (y)
	{
		if (y&1)z=z*x%mod;
		x=x*x%mod,y>>=1;
	}
	return z;
}
int main()
{
	freopen("T1.in","r",stdin);
	//freopen("seq.in","r",stdin);
	//freopen("seq.out","w",stdout);
	n=read(),m=read();
	fo(i,1,m)b[i]=read();
	fo(i,1,m)f[i]=read();
	if (n<=m){printf("%lld\n",f[n]);return 0;}
	fo(i,2,m)tmp.f[i][i-1]=1;
	fo(i,1,m)tmp.f[i][m]=b[m-i+1];
	tmp=pow(tmp,n-m),ans=1ll;
	fo(i,1,m)ans=(ans*(ksm(f[i],tmp.f[i][m])))%mod;
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}