【JZOJ6275】小L的数列

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【JZOJ6275】小L的数列_第1张图片


analysis

  • 考虑矩阵乘法

  • 设初始 m × m m×m m×m矩阵上 i i i j j j列的数字表示该矩阵第 j j j位上 f [ i ] f[i] f[i]的指数

  • 那么一开始表示 f [ 1.. k ] f[1..k] f[1..k]的矩阵就长这个样子,举样例 k = 4 k=4 k=4的例子

( 1 , 0 , 0 , 0 0 , 1 , 0 , 0 0 , 0 , 1 , 0 0 , 0 , 0 , 1 ) \left( \begin{matrix} 1,0,0,0\\ 0,1,0,0\\ 0,0,1,0\\ 0,0,0,1\\ \end{matrix} \right) 1,0,0,00,1,0,00,0,1,00,0,0,1

  • 也就是 f [ 1 ] = f [ 1 ] 1 , f [ 2 ] = f [ 2 ] 1 f[1]=f[1]^1,f[2]=f[2]^1 f[1]=f[1]1,f[2]=f[2]1等等

  • 可知 f [ 5 ] = f [ 4 ] b [ 1 ] f [ 3 ] b [ 2 ] f [ 2 ] b [ 3 ] f [ 1 ] b [ 4 ] f[5]=f[4]^{b[1]}f[3]^{b[2]}f[2]^{b[3]}f[1]^{b[4]} f[5]=f[4]b[1]f[3]b[2]f[2]b[3]f[1]b[4],那表示 f [ 2.. k + 1 ] f[2..k+1] f[2..k+1]的矩阵就是

( 0 , 0 , 0 , b [ 4 ] 1 , 0 , 0 , b [ 3 ] 0 , 1 , 0 , b [ 2 ] 0 , 0 , 1 , b [ 1 ] ) \left( \begin{matrix} 0,0,0,b[4]\\ 1,0,0,b[3]\\ 0,1,0,b[2]\\ 0,0,1,b[1]\\ \end{matrix} \right) 0,0,0,b[4]1,0,0,b[3]0,1,0,b[2]0,0,1,b[1]

  • 不懂可以把这个矩阵的各项拆出来,同一列从上往下做 f f f的次幂再相乘就可以分别得到 f [ 2.. k + 1 ] f[2..k+1] f[2..k+1]

  • 由于第一个矩阵相当于矩阵意义的 1 1 1,所以转移矩阵就是第二个矩阵

  • 好像这就没了,但是要知道指数的矩乘不能直接取模,比如 3 15 m o d    7 ≠ 3 15 m o d    7 3^{15}\mod 7≠3^{15\mod 7} 315mod7̸=315mod7

  • 费马小定理告诉你 a p − 1 ≡ 1 ( m o d    p ) a^{p-1}≡1(\mod p) ap11(modp),也就是说每 p − 1 p-1 p1 a a a相乘的积模 p p p等于 1 1 1

  • 于是矩乘里的模数取原来的模数 − 1 -1 1就可以了

  • 我在考场上最后十分钟推出第二个矩阵对然后我™就不知道那个就是转移矩阵然后傻逼地对着转移矩阵发呆


code

#pragma GCC optimize("O3")
#pragma G++ optimize("O3")
#include
#include
#include
#define MAXK 205
#define mod 998244353
#define MOD 998244352
#define ll long long
#define reg register ll
#define fo(i,a,b) for (reg i=a;i<=b;++i)
#define fd(i,a,b) for (reg i=a;i>=b;--i)

using namespace std;

ll b[MAXK],f[MAXK];
ll n,m,ans;

struct matrix
{
	ll f[MAXK][MAXK],n,m;
	matrix(){memset(f,0,sizeof(f));}
}tmp;
inline ll read()
{
	ll x=0,f=1;char ch=getchar();
	while (ch<'0' || '9'<ch){if (ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while ('0'<=ch && ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
	return x*f;
}
inline matrix operator*(matrix a,matrix b)
{
	matrix c;
	fo(i,1,m)fo(j,1,m)fo(k,1,m)
	c.f[i][j]=(c.f[i][j]+a.f[i][k]*b.f[k][j])%MOD;
	return c;
}
inline matrix pow(matrix x,ll y)
{
	matrix z;
	fo(i,1,m)z.f[i][i]=1;
	if (y==0)return z;
	while (y)
	{
		if (y&1)z=z*x;
		x=x*x,y>>=1;
	}
	return z;
}
inline ll ksm(ll x,ll y)
{
	ll z=1;
	while (y)
	{
		if (y&1)z=z*x%mod;
		x=x*x%mod,y>>=1;
	}
	return z;
}
int main()
{
	freopen("T1.in","r",stdin);
	//freopen("seq.in","r",stdin);
	//freopen("seq.out","w",stdout);
	n=read(),m=read();
	fo(i,1,m)b[i]=read();
	fo(i,1,m)f[i]=read();
	if (n<=m){printf("%lld\n",f[n]);return 0;}
	fo(i,2,m)tmp.f[i][i-1]=1;
	fo(i,1,m)tmp.f[i][m]=b[m-i+1];
	tmp=pow(tmp,n-m),ans=1ll;
	fo(i,1,m)ans=(ans*(ksm(f[i],tmp.f[i][m])))%mod;
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}

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