【UOJ349】【WC2018】即时战略 LCT 动态点分治
这是一道交互题
题目大意
有一棵 n n 个点的树。最开始 1 1 号点是白的，其他点是黑的。
每次你可以执行一个操作： explore(x,y) e x p l o r e ( x , y ) 。要求 x x 是一个白点。该函数会返回从 x x 到 y y 的路径上第二个点的坐标并把该点染白。
要求你把所有点都染成白色。
设操作次数为 t t 。
对于 30% 30 % 的数据：这棵树是一条链（不保证 1 1 在链的一端）， n=300000,t=O(n+logn) n = 300000 , t = O ( n + log n )
对于另外 70% 70 % 的数据： n=300000,t=O(nlogn) n = 300000 , t = O ( n log n )
题解
数据范围告诉我们链的情况要分开做。
做法1
有一个简单的做法：维护当前白色节点的两段，每次加入一个新的节点，如果这个节点是黑的，就先判断这个点在一号点的左边还是右边，在进行扩展。
可以证明扩展次数是 2lnn 2 ln n
记 E(n) E ( n ) 为一条长为 n+1 n + 1 的链（有 n n 个黑色节点），从左边开始扩展的期望次数（最左端是 1 1 号点）。
E(0)E(n)n(E(n)−1)nE(n)−nnE(n)−nE(n−1)E(n)−E(n−1)E(n)=0=1+1n∑i=0n−1E(i)=(n−1)(E(n−1)−1)+E(n−1)=nE(n−1)−n+1−E(n−1)+1+E(n−1)=1=1n=∑i=1n1i≈lnn(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7) (1) E ( 0 ) = 0 (2) E ( n ) = 1 + 1 n ∑ i = 0 n − 1 E ( i ) (3) n ( E ( n ) − 1 ) = ( n − 1 ) ( E ( n − 1 ) − 1 ) + E ( n − 1 ) (4) n E ( n ) − n = n E ( n − 1 ) − n + 1 − E ( n − 1 ) + 1 + E ( n − 1 ) (5) n E ( n ) − n E ( n − 1 ) = 1 (6) E ( n ) − E ( n − 1 ) = 1 n (7) E ( n ) = ∑ i = 1 n 1 i ≈ ln n
就是枚举 n n 是第几个扩展的，把前面的离散化到 1∼i−1 1 ∼ i − 1 。
因为这题的 1 1 号点不在一端，次数就要乘以 2 2 。
期望操作次数是 n+2lnn n + 2 ln n
但是这样很大概率拿不了满分。
我们加入一个新的节点时，可以默认这个点是在 1 1 号点左边，扩展第一次时判断要扩展的点是否是白的。如果是白的就说明新加入的点在 1 1 号点右边。
当然，加入新节点的第一次扩展要随机扩展左边或右边。
这样期望扩展次数就是 lnn ln n 了，期望操作次数就是 n+lnn n + ln n
做法2
问题转化为：每次给你一个新的点，要你找出树上离这个点最近的节点。
动态点分治：动态维护点分治树，在点分治树上面跳。
时间复杂度： O(nlog2n) O ( n log 2 n )
操作次数： O(nlogn) O ( n log n )
LCT：每次从根往下在splay上跳，如果调到另一条链上就splay一下继续跳。
时间复杂度： O(nlogn) O ( n log n )
操作次数： O(nlogn) O ( n log n )
这两种做法都可以拿到满分。
如果你写的是动态点分治，你可能会被卡常。
UPD：动态点分治跑的很快，LCT没写好会被卡操作常数。
代码
LCT
#include动态点分治
#includeint build(int x,int dep,int fa,int mi)
{
dfs1(x,0);
num=ss[x];
rtsz=0x7fffffff;
dfs2(x,0);
x=rt;
b[x]=1;
d[x]=dep;
f[x]=fa;
s[x]=1;
for(auto v:g[x])
if(!b[v])
{
int rr=build(v,dep+1,x,mi);
s[x]+=s[rr];
}
return x;
}
int cc[300010];
void gao1()
{
int i;
for(i=1;i<=n;i++)
cc[i]=i;
srand(time(0));
random_shuffle(cc+1,cc+n+1);
b[1]=1;
d[1]=0;
s[1]=1;
f[1]=0;
int r=1;
for(i=1;i<=n;i++)
if(!b[cc[i]])
// if(!b[i])
{
gao(r,cc[i]);
// gao(r,i);
if(rebuild)
{
dfs(rebuild,d[rebuild]);
int rr=build(rebuild,d[rebuild],f[rebuild],d[rebuild]);
if(rebuild==r)
r=rr;
rebuild=0;
}
}
}
void gao3()
{
int x1=1,x2=1;
int i;
b[1]=1;
for(i=1;i<=n;i++)
cc[i]=i;
srand(time(0));
random_shuffle(cc+1,cc+n+1);
for(i=1;i<=n;i++)
{
int x=cc[i];
if(b[x])
continue;
int v=explore(x1,x);
if(!b[v])
{
b[v]=1;
x1=v;
while(x1!=x)
{
v=explore(x1,x);
b[v]=1;
x1=v;
}
}
else
{
while(x2!=x)
{
v=explore(x2,x);
b[v]=1;
x2=v;
}
}
}
}
void gao2()
{
int i,v;
for(i=2;i<=n;i++)
{
int x=1;
while((v=explore(x,i))!=i)
x=v;
}
}
void play(int _n,int _t,int type)
{
n=_n;
t=_t;
if(type==3)
gao3();
else if(type==2)
gao2();
else
gao1();
}