求指定区间内与n互素的数的个数 容斥原理

题意：给定整数n和r，求区间[1, r]中与n互素的数的个数。

---

如果使用暴力的方法, 枚举1...n, 判定gcd(i,n)是否为1的复杂度是log(max(i,n)),总的复杂度就是r∗log(max(i,n))。
当r特别大的时候，时间效率会非常低下，那么我们可以考虑容斥定理。

---

容斥定理的思想：去求解原问题的逆问题−求区间[1,r]中不与n互素的个数。
思路：首先求得n的所有素因子Pi(i=1...k), 通过二进制枚举所有素因子的组合, 如果选取了奇数个素
因子，应该加上对应的个数，而如果是偶数, 则减去即可。

例如6既能2整除，也能被2∗3整除，所以应该剔除重复计数的部分(使用容斥定理)。
假设当前得到的素数组合是k, 那么⌊rk⌋就是[1,r]中能被k整除的数的个数。

详细见容斥定理

详细代码如下

int solve(int r, int n) {
    vector<int>p;
    p.clear();
    for(int i = 2; i*i <= n; ++i) {
        if(n % i == 0) {
            p.push_back(i);
            while(n % i == 0) n /= i;
        }
    }
    if(n > 1) p.push_back(n); //可能n也是素数
    int sum = 0;
    for(int msk = 1; msk < (1<int mult = 1, bits = 0;
        for(int i = 0; i < p.size(); ++i) {
            if(msk & (1<//选择了第i个素数因子 
                bits++; 
                mult *= p[i];
            }
        }
        int cur = r / mult;
        if(bits & 1) sum += cur;
        else sum -= cur;
    } 
    return r - sum;
}

该算法复杂度是n√, 和r无关

如有不当之处欢迎指出！