线性基

解决的问题是1给一堆数可不可以异或出某个数$x$，2这堆数的最大异或和。
原理： 把原序列$A$，转化成序列$P$，使得$P_i$的最高位为第$i$位，使得$A$上的异或和的值域与$P$上一样。

构造： 对于$A$中每新增加的一个数，都从他的最高位开始遍历$P$，若$P_i\ne 0$，则$v=v\otimes P_i$，继续一直找到不为0的$P_i$，令$P_i=v$。

void ins(LL v){
	for(int i=51;i>=0;--i){
		if(v&(1ll<<i)){
			if(!s[i]){
				s[i]=v;
				return;
			}
			else
				v^=s[i];
		}
	}
}

找某个数与$A$最大异或和：

LL jmax(LL base=0){
	LL ans=base;
	for(int i=51;i>=0;--i){
		ans=max(ans,ans^s[i]);
	}
	return ans;
}

查询某个数是否能被表示：
跟构造过程一样，若最后$v=0$，则能被表示。因为$v\otimes x=0$，则$x=v$。

应用

P4151 [WC2011] 最大XOR和路径 求一个无向图中点1到点n的最大异或和路径
思路

1. 路径是由一条主路径和一些简单环构成。因为异或会把主路径连接到环的边弄没。
2. 不同DFS序找到的简单环虽然不同，但是简单环之间异或可以得到所有图上有的简单环，所以返祖找所有环就可以了。即以下两种DFS方式虽然得到两个环不同，但都可以通过异或得到第三个环。
   

#include
using namespace std;
const int maxn=5e4+5,maxm=1e5+5;
typedef long long LL;
typedef struct{
	int next,to;
	LL v;
} ooo;
ooo e[maxm<<1];
int head[maxn];
LL to[maxn];
bool vis[maxn];
void addEdge(int u,int v,LL d){
	static int cnt=0;
	e[cnt]=ooo{head[u],v,d};
	head[u]=cnt++;
	e[cnt]=ooo{head[v],u,d};
	head[v]=cnt++;
}
class Ji{
	LL num[66];
public:
	void ins(LL v){
		for(int i=63;i>=0;--i)
			if(v&(1ll<<i))
				if(num[i])v^=num[i];
				else{
					num[i]=v;
					return;
				}
	}
	LL qmax(LL basic){
		LL ans=basic;
		for(int i=65;i>=0;--i)
			ans=max(ans,ans^num[i]);
		return ans;
	}
}ji;
void dfs(int u,LL res){  // 返祖找出所有的简单环
	to[u]=res;
	vis[u]=true;
	for(int i=head[u];~i;i=e[i].next){
		if(!vis[e[i].to])dfs(e[i].to,res^e[i].v);
		else ji.ins(res^e[i].v^to[e[i].to]);
	}
}
int main(){
	int n,m;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	memset(head,-1,sizeof(head));
	int u,v;
	LL d;
	for(int i=0;i<m;i++){
		scanf("%d%d%lld",&u,&v,&d);
		addEdge(u,v,d);
	}
	dfs(1,0);
	printf("%lld\n",ji.qmax(to[n]));
}