离散数学归总

离散数学是现代数学的一个重要分支，计算机科学与技术一级学科的核心课程，是整个计算机学科的专业基础课。离散数学是以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标，其研究对象一般地是有限个或可数个元素，因此它充分描述了计算机科学离散性的特点。离散数学是随着计算机科学的发展而逐步建立的，它形成于七十年代初期，是一门新兴的工具性学科。

引言

数理逻辑

逻辑学 是一门研究思维形式及思维规律的科学，也就是研究推理过程的规律的科学。逻辑规律就是客观事物在人的主观意识中的反映。逻辑学分为辩证逻辑与形式逻辑两种， 辩证逻辑 是以辩证法认识论的世界观为基础的逻辑学， 形式逻辑 主要是对思维的形式结构和规律进行研究的类似于语法的一门工具性学科。思维的形式结构包括了概念、判断和推理之间的结构和联系，其中概念是思维的基本单位，通过概念对事物是否具有某种属性进行肯定或否定的回答，这就是 判断 ；由一个或几个判断推出另一判断的思维形式，就是 推理 。用数学方法来研究推理的规律称为 数理逻辑 。这里所指的数学方法，就是引进一套符号体系的方法，在其中表达和研究推理的规律。  

集合论

集合是数学中最为基本的概念，又是数学各分支、自然科学及社会科学各领域的最普遍采用的描述工具。集合论是离散数学的重要组成部分，是现代数学中占有独特地位的一个分支。

G.康托尔是作为数学分支的集合论的奠基人。1870年前后，他关于无穷序列的研究导致集合论的系统发展。1874年他发表了关于实数集合不能与自然数集合建立一一对应的有名的证明。1878年，他引进了两个集合具有相等的“势”的概念。然而，朴素集合论中包含着悖论。第一个悖论是布拉利-福尔蒂的最大序数悖论。1901年罗素发现了有名的罗素悖论。1932年康托尔也发表了关于最大基数的悖论。 集合论的现代公理化开始于1908年E.策梅罗所发表的一组公理，经过A.弗兰克尔的加工，这个系统称为策梅罗-弗兰克尔集合论（ZF），其中包括1904年策梅罗引入的选择公理。另外一种系统是冯*诺伊曼-伯奈斯-哥德尔集合论。公理集合论中一个有名的猜想是连续统假设（CH）。K.哥德尔证明了连续统假设与策梅罗-弗兰克尔集合论的相容性，P.J.科恩证明了连续统假设与策梅罗-弗兰克尔集合论的独立性。现在把策梅罗-弗兰克尔集合论与选择公理一起称为ZFC系统。

代数结构

代数结构也叫做抽象代数，主要研究抽象的代数系统。抽象的代数系统也是一种数学模型，可以用它表示实际世界中的离散结构。例如在形式语言中常将有穷字符表记为∑，由∑上的有限个字符（包括0个字符）可以构成一个字符串，称为∑上的字。∑上的全体字符串构成集合∑^*。设α,β是∑^*上的两个字，将β连接在α后面得到∑^*上的字αβ。如果将这种连接看作∑^*上的一种运算，那么这种运算不可交换，但是可结合。集合∑^*关于连接运算就构成了一个代数系统，它恰好是抽象代数系统--半群的一个实例。抽象代数在计算机中有着广泛的应用，例如自动机理论、编码理论、形式语义学、代数规范、密码学等等都要用到抽象代数的知识。代数结构的主要研究对象就是各种典型的抽象代数系统。

构成一个抽象代数系统有三方面的要素：集合、集合上的运算以及说明运算性质或运算之间关系的公理。请看下面的例子。

整数集合Z和普通加法＋构成了代数系统〈Z,＋〉，n阶实矩阵的集合M_n(R)与矩阵加法＋构成代数系统〈M_n(R),＋〉。幂集P(B)与集合的对称差运算也构成了代数系统。类似这样的代数系统可以列举出许多许多，他们都是具体的代数系统。考察他们的共性，不难发现他们都含有一个集合，一个二元运算，并且这些运算都具有交换性和结合性等性质。为了概括这类代数系统的共性，我们可以定义一个抽象的代数系统，其中 A是一个集合，是A上的可交换、可结合的运算，这类代数系统实际上就是交换半群。

为了研究抽象的代数系统，我们需要先定义一元和二元代数运算以及二元运算的性质，并通过选择不同的运算性质来规定各种抽象代数系统的定义。在此基础上再深入研究这些抽象代数系统的内在特性和应用。

PS:关于数理逻辑与集合论发展介绍,在博文[数理逻辑与集合论发展 ] )

图论

图论是离散数学的重要组成部分，是近代应用数学的重要分支。

人们常称1736年是图论历史元年，因为在这一年瑞士数学家欧拉（Euler）发表了图论的首篇论文——《哥尼斯堡七桥问题无解》，所以人们普遍认为欧拉是图论的创始人.

1936年，匈牙利数学家寇尼格（Konig）出版了图论的第一部专著《有限图与无限图理论》，这是图论发展史上的重要的里程碑，它标志着图论将进入突飞猛进发展的新阶段。

近40年来，随着计算机科学的发展，图论更以惊人的速度向前发展，有人形容说：真是异军突起，活跃非凡。其主要原因有二：其一，计算机科学的发展为图论的发展提供了计算工具；其二，现代科学技术的发展需要借助图论来描述和解决各类课题中的各种关系，从而推动科学技术不断地攀登新的高峰。

作为描述事务之间关系的手段或称工具，目前，图论在许多领域，诸如，计算机科学、物理学、化学、运筹学、信息论、控制论、网络通讯、社会科学以及经济管理、军事、国防、工农业生产等方面都得到广泛的应用，也正是因为在众多方面的应用中，图论自身才得到了非常迅速的发展。

---

目录

第一部分数理逻辑

• 第一章 命题逻辑基本概念

  • 第1节 命题与连结词
  • 第2节 命题公式及其赋值

• 第二章 命题逻辑等值演算

  • 第1节 等值式
  • 第2节 命题逻辑
  • 第3节 范式
  • 第4节 联结词完备集
    

• 第三章 命题逻辑的推理理论

  • 第1节 推理的形式结构
  • 第2节 自然推理系统P

• 第四章 一阶逻辑基本概念

  • 第1节 一阶逻辑的符号化
  • 第2节 一阶逻辑公式及解释

• 第五章 一阶逻辑等值演算与推理

  • 第1节 一阶逻辑等值式与置换规则
  • 第2节 一阶逻辑的前束范式
  • 第3节 一阶逻辑推理理论

第二部分集合论

• 第六章 集合代数

  • 第1节 集合的基本概念
  • 第2节 集合的运算
  • 第3节 集合恒等式

• 第七章 二元关系 (I), (II)

  • 第1节 有序对与笛卡儿积
  • 第2节 二元关系
  • 第3节 关系的运算
  • 第4节 关系的性质
  • 第5节 关系的闭包
  • 第6节 等价关系与划分
  • 第7节 偏序关系
  • 补充: 二元关系的矩阵和图表示
    

• 第八章 函数

  • 第1节 函数的定义与性质
  • 第2节 函数的复合与反函数

• 第九章 集合基数

  • 第1节 集合的等势与优势
  • 第2节 集合的基数

第三部分代数系统

• 第十章 代数系统

  • 第1节 二元运算及其性质
  • 第2节 代数系统

• 第十一章 半群与群

  • 第1节 半群与独异点
  • 第2节 群的定义与性质
  • 第3节 子群
  • 第4节 群的定义与性质
  • 第5节 正规子群与商群
  • 第6节 群的同态与同构
  • 第7节 半群与独异点

• 第十二章 环与域

  • 第1节 环的定义与性质
  • 第2节 整环与域

• 第十三章 格与布尔代数

  • 第1节 格的定义与性质
  • 第2节 子格与格同态
  • 第3节 分配格与有补格
  • 第4节 布尔代数

第四部分图论

• 第十四章 图的基本概念

  • 第1节 图
  • 第2节 通路与回路
  • 第3节 图的连通性
  • 第4节 图的矩阵表示
  • 第5节 图的运算

• 第十五章 欧拉图与哈密顿图

  • 第1节 欧拉图
  • 第2节 哈密顿图
  • 第3节 带权图与货郎担问题

• 第十六章 树

  • 第1节 无向树及其性质
  • 第2节 生成树
  • 第3节 根树及其应用

• 第十七章 平面图及图的着色

  • 第1节 平面图的基本概念
  • 第2节 欧拉公式
  • 第3节 平面图的判断
  • 第4节 平面图的对偶图
  • 第5节 图中顶点的着色
  • 第6节 地图的着色与平面图的点着色
  • 第7节 边着色

• 第十八章 支配集、覆盖集、独立集与匹配

  • 第1节 支配集、点覆盖集、点独立集
  • 第2节 边覆盖集与匹配
  • 第3节 二部图中的匹配
    

---

上机实验

• 常用逻辑联结词计算
• 真值表与范式
• 集合的表示与基本运算
• 二元关系的表示与基本运算
  

---

相关链接

外文资料

• Discrete math tutorials, lessons and instructions.
• Mathematics Archives - Topics in Mathematics - Discrete Mathematics
• Rosen-Discrete Mathematics
• Center for Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science (DIMACS)
• CS22 Introduction to Discrete Structures and Probability
  

离散数学课件

• 离散数学课程(中山大学·信息科学与技术学院·计算机科学系·软件工程实验室·周晓聪)
• 离散数学(上).清华大学计算机系.
• 离散数学.复旦大学计算机科学技术学院.(课程教材：赵一鸣阚海斌 吴永辉， 《离散数学》人民邮电出版社， 2011年)
• 离散数学.陕西师范大学.(课程教材：方世昌著，《离散数学》西安电子科大出版社)
• 离散数学.重庆邮电大学(课程教材：耿素云等.《离散数学》.清华大学教育出版社, 2008年.)
• 福州大学离散数学与理论计算机科学研究中心
• 浙江师范大学离散数学研究中心
  
• 离散数学课程主页 - Websoft Research Group - 南京大学
• 离散数学精品课网站-哈尔滨理工大学
• 离散数学-上海交通大学继续教育数字化学习资源开放专栏
• 离散数学教学网站 - 电子科技大学
• 离散数学在线教学网-山东理工大学
• 离散数学网络课程 -河南师范大学计算机与信息技术学院
  

公开视频

• 离散数学基础 (中山大学· 蔡国扬)

• 離散數學 Discrete Mathematics(国立交通大学开放式课程·資訊工程學系 易志偉老師)
• 离散数学(结构)(桂林电子科技大学·古天龙) 本课程研究离散量的数学结构、性质与相互关系，主要内容包括集合论、代数结构、图论、数理逻辑以及它们在计算机学科相关领域的应用。课程着重介绍了离散数学基础理论、离散问题建模、计算机求解方法和技术，是学习计算机科学相关课程的理论基础，更是从事计算机科学与理论研究必不可少的工具。
• 离散数学(吉林大学·欧阳丹彤)     与课堂讲授、答疑和习题课等教学过程有机结合，形成了立体化的学习环境，极大地激发了学生的学习兴趣，取得了良好的教学效果。
• 离散数学(电子科技大学·傅彦).    概念知识地图能更好的辅助学生学习、设计的实验能更好的训练学生实践能力、教学案例能促进学生了解课程与其他学科的关系、教学动画软件可以帮助学生理解课程的概念定理。
• 离散数学Discrete Mathematics (北京大学· 王捍贫)  教师团队中有2名教育部高等学校师资培训离散数学课程的主讲教师。本课程按照144学时设计，面向创新人才培养计划，具有鲜明的特色和丰富的资源。
• 集合论与图论 (哈尔滨工业大学· 姜守旭)  集合论是整个数学的基础，也是计算机科学的基础。集合论与图论是算法与数据结构、形式语言与自动机、数据库原理、计算的复杂性理论等课的先修课。而图论的基本知识则将始终陪伴我们，直到……。本课程的内容是王义和教授带领的教学团队经几十年的教学实践积累而成。
  

---

关于Discrete Mathematics更多讨论与交流，敬请关注本博客和新浪微博songzi_tea.