解题报告：洛谷 P2737 [USACO4.1]麦香牛块Beef McNuggets

参考代码

const int LIM = 256 * 256 - 2 * 256 + 1;

int n;
int capacity[20];
bool available[LIM + 1];

void init()
{
	scanf("%d",&n);
	for (int i = 1;i <= n;++i) scanf("%d",&capacity[i]);
}

void work()
{
	available[0] = true;
	for (int i = 1;i <= n;++i)
		for (int j = capacity[i];j <= LIM;++j)
			available[j] = available[j] || available[j - capacity[i]];
	for (int i = LIM;i >= 0;--i)
	{
		if (i == 0 || (available[i] == false && i > 64769)) {printf("0"); break;}
		else if (available[i] == false) {printf("%d",i); break;}
	}
}

分析

• 完全背包
• 扩展欧几里德

题意：

给你$n$个数$a_1,a_2\cdots a_n$, 要你求最大的正整数$m$使得方程$a_1{x}_1+a_2{x}_2+...+a_n{x}_n=m$无非负整数解. 题目数据满足$a_x$为正整数且不大于$256$, $n\le 10$。

（via.https://www.luogu.org/blog/user21910/solution-p2737）

直接从1枚举到2 billion的背包容量显然会超时，有没有可以把这个“枚举上限”缩小的方法呢？

答案是：只需要将背包容量从1枚举到$256^2-2\ast 256$即可。为什么？