【图】最短路径--迪杰斯特拉(Dijkdtra)算法

迪杰斯特拉(Dijkstra)算法是典型最短路径算法，用于计算一个节点到其他节点的最短路径。

它的主要特点是以起始点为中心向外层层扩展(广度优先搜索思想)，直到扩展到终点为止。

算法思想
每次找到离源点最近的一个顶点，然后以该顶点为中心，然后得到源点到其他顶点的最短路径。贪心算法。

举例分析

以邻接矩阵为存储图

注：上图中，邻接矩阵的对称线也是无穷大，在初始时默认为无穷大。可以看上篇博客，图的存储。

(1) 用dis数组来存储源点1到其他顶点的初始路径，标记1号顶点，

此时dis数组中的值称为最短路径的估计值。

(2) 从dis数组中找出离源起点最近的点2号，以2号顶点为源点进行找最近的顶点。把2号顶点标记，表示已经有最小值。

以2号顶点为源点，看2号顶点有哪些出边，看能不能优化，再短一些
2->3：9，2->4：3
而dis中最短路径的估计值，1->2：1, 1->3：12
那么结合一下 1->2->3：1+9=10，比1->3：12 小，
1->2：1 和 2->4：3，那么1->2->4：4
所以要更新 dis中的最短路径估计值，

(3) 此时1号和2号顶点已经标记，表示已经最小值，现在在3号和4号找，4号顶点距离源点最近，所以以4号顶点进行找，标记4号顶点

4号的出边：
4->3：4，4->5：13，4->6：15。
用刚才的方法进行更新估计值。
1->3:10 比 1->4->3：4+4=8，大，所以更新
1->4：4，4->5：13+4=17，更新。
1->4：4，4->6：15+4 = 19。更新

(4)从3号，5号，6号，找最短路径8，标记3号顶点。
以相同的方法进行更新。

(5)从5号和6号顶点查找，标记5号。
以相同的方法进行更新。

(6)此时剩余6号顶点，6号的出边没有，
此时所有的顶点都以遍历完，dis中的值就是最终的结果。

步骤：
(1)将所有的顶点分为两个部分，已知最短路径的顶点集合P和未知的顶点集合Q，初始时，P中只有一个源顶点1号。这里用book数组来标记顶点是否在P中，1表示在P中，0表示在Q中。

dis数组来记录最短路径，数组下标来表示顶点的下标。

设置源点1到到其他顶点的路径值，放置到dis中。

(2)在dis中找到源点s到其他顶点的最短路径u顶点，将其加入P集合，并考察以x顶点为起点的出边，然后对dis 进行更新。即：如果存在一条从u到v的边，那么可以拓展一条从s到u再到v的边，路径长度为dis[u]+edge[u] [v] ,如果这个值比目前的值dis[v]小，那么就进行更新。

(3)重复第2步，直到Q为空，即book都被标记，此时dis数组中就是源点到各个顶点的最短路径。

代码实现

    //最短路径，Dijkdtra算法
    vector<int> Dijkdtra(const V& start)
    {
        //保存结果值，下标为顶点元素的下标，
        vector<int> dis(_ver.size());
        //记录已确定的最小的值的顶点
        vector<int> book(_ver.size(), 0);

        //获取起始位置的下标，
        int index = GetIndexOfVertex(start);
        book[index] = 1;

        //初始化dis
        for (size_t idx = 0; idx < _edge[0].size(); ++idx)
            dis[idx] = _edge[index][idx];       


        while (true)
        {
            int u = -1;//新的源点下标
            int min = INT_MAX;
            //寻找未被处理过，且距离最小的点
            for (size_t i = 0; i < dis.size(); ++i)
            {
                if (book[i] == 0 && dis[i] < min)
                {
                    min = dis[i];
                    u = i;//记录最近的顶点下标               
                }

            }
            //都处理过，退出
            if (u == -1)
                break;
            book[u] = 1;
            //步骤2
            for (size_t v = 0; v < _edge[0].size(); ++v)
            {
                if (_edge[u][v] < INT_MAX)
                {
                    if (dis[v] > _edge[u][v] + dis[u])
                        dis[v] = _edge[u][v] + dis[u];
                }
            }
        }
        return dis;
    }