2020杭电多校第六场Expectation

Expectation

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题目大意

给你一个无向图，有n个点，m条边，每个边的边权为$w_i$ ，定义树的权为树的所有边的边权的按位与。
现在我们随机选择该图的一个生成树，问其生成树的权期望是多少。

思路

先看一下官方题解

很明显的矩阵树，因为是按位与计算，每一个位相互独立，所以对于每一位都需要建立一个其含该位的边的基尔霍夫矩阵，求得该位下可以得到的生成树的个数，按照题解中，每位对答案的贡献即为$ans\ast \frac{2^i}{sum}$，其中ans为当前位的生成树的个数。

基尔霍夫矩阵树定理：Matrix-Tree 定理

AC Code

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
#define int long long
// #define TDS_ACM_LOCAL
const int N=209;
const int mod=998244353;
vector<int>mp[N][N];
int mat[N][N];
int n, m;

int quick_pow(int a, int b)
{ 
	int res = 1;
	while (b)
	{
		if (b & 1)
			res = res * a % mod;
		a = a * a % mod;
		b >>= 1;
	}
	return res;
}

int gauss(int n, int K[][N]){//求矩阵K的n-1阶顺序主子式
    int res=1;
    for(int i=1;i<=n-1;i++){
        for(int j=i+1;j<=n-1;j++){
            while(K[j][i]){
                int t=K[i][i]/K[j][i];
                for(int k=i;k<=n-1;k++)
                    K[i][k]=(K[i][k]-t*K[j][k]+mod)%mod;
                swap(K[i],K[j]);
                res=-res;
            }
        }
        res=(res*K[i][i])%mod;
    }
    return (res+mod)%mod;
}

void solve(){
	cin>>n>>m;
	memset(mat, 0, sizeof(mat));
	for(int i=1; i<=n; i++)
		for(int j=1; j<=n; j++)
			mp[i][j].clear();
	int u, v, w;
	for(int i=1; i<=m; i++){
		cin>>u>>v>>w;
		mp[u][v].push_back(w), mp[v][u].push_back(w);
		//建立总的基尔霍夫矩阵
		mat[u][v]--, mat[v][u]--;
		mat[u][u]++, mat[v][v]++;
	}
	int sum=quick_pow(gauss(n, mat), mod-2);			//求出总的生成树的个数的逆元
	int f=0;
	for(int k=0; k<=30; k++){
		memset(mat, 0, sizeof(mat));
		for(int i=1; i<=n; i++)
			for(int j=i+1; j<=n; j++)
				for(auto x:mp[i][j])
					//求得每一位的基尔霍夫矩阵
					if(x&(1<<k)){
						mat[i][j]--, mat[j][i]--;
						mat[i][i]++, mat[j][j]++;
					}
		f=(f+quick_pow(2,k)*gauss(n,mat)%mod)%mod;		//求得每一位的生成树的个数
	}
	
	cout<<sum*f%mod<<endl;
	return ;
}

signed main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0), cout.tie(0);
#ifdef TDS_ACM_LOCAL
    freopen("D:\\VS code\\.vscode\\testall\\in.txt", "r", stdin);
    freopen("D:\\VS code\\.vscode\\testall\\out.txt", "w", stdout);
#endif
    int T;
    cin>>T;
    while(T--)  solve();
    return 0;
}